Шпаргалки / Физика / 01. Основы физики

03. Измерения, погрешности и значащие цифры

Измерения, погрешности и значащие цифры

Уровень: с нуля → лабораторный практикум

Измерение

Измерение — сравнение физической величины с принятой единицей при помощи прибора или метода.

Ни одно реальное измерение не даёт абсолютно точного числа. Результат записывают как

\[ x=x_{\text{изм}}\pm\Delta x. \]

Здесь \(\Delta x\) — абсолютная погрешность или неопределённость.

Виды ошибок

Случайные

Меняются непредсказуемо от опыта к опыту:

  • шум прибора;
  • дрожание руки;
  • случайные флуктуации.

Их уменьшают повторными измерениями и усреднением.

Систематические

Сдвигают все результаты в одну сторону:

  • неверная калибровка;
  • нулевая ошибка;
  • постоянная задержка датчика;
  • неправильная модель.

Повторение само по себе систематическую ошибку не убирает.

Грубые ошибки

Ошибки записи, подключения или расчёта. Такие точки не отбрасывают молча: нужна понятная причина.

Абсолютная и относительная погрешность

\[ \delta_x=\frac{\Delta x}{|x|}. \]

В процентах:

\[ \delta_x^{(\%)}=\frac{\Delta x}{|x|}\cdot100\%. \]

Пример:

\[ l=(20{,}0\pm0{,}2)\ \text{см}, \]
\[ \delta_l=\frac{0{,}2}{20{,}0}=0{,}01=1\%. \]

Цена деления и приборная неопределённость

Для аналоговой шкалы часто используют половину цены деления как грубую оценку. Для цифрового прибора надо смотреть паспорт: последняя цифра не всегда равна полной неопределённости.

Среднее значение

Для \(N\) повторных измерений:

\[ \bar x=\frac1N\sum_{i=1}^{N}x_i. \]

Выборочное стандартное отклонение:

\[ s=\sqrt{\frac{1}{N-1}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\bar x)^2}. \]

Стандартная ошибка среднего:

\[ s_{\bar x}=\frac{s}{\sqrt N}. \]

Распространение погрешностей

Для независимых малых неопределённостей:

\[ \sigma_f^2\approx\sum_i\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2\sigma_{x_i}^2. \]

Частные случаи:

Сумма и разность

Если \(z=x\pm y\), то

\[ \sigma_z=\sqrt{\sigma_x^2+\sigma_y^2}. \]

Произведение и частное

Если \(z=xy\) или \(z=x/y\), то примерно

\[ \left(\frac{\sigma_z}{z}\right)^2 = \left(\frac{\sigma_x}{x}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_y}{y}\right)^2. \]

Степень

Если \(z=x^n\), то

\[ \frac{\sigma_z}{|z|}\approx |n|\frac{\sigma_x}{|x|}. \]

Значащие цифры

Погрешность обычно округляют до одной или двух значащих цифр. Сам результат округляют до того же десятичного разряда.

Хорошо:

\[ g=(9{,}81\pm0{,}03)\ \text{м/с}^2. \]

Плохо:

\[ g=(9{,}81274639\pm0{,}03)\ \text{м/с}^2. \]

Точность и правильность

  • Точность/прецизионность: результаты близки друг к другу.
  • Правильность: средний результат близок к истинному.

Можно очень точно измерять неправильно откалиброванным прибором.

Пример: плотность цилиндра

Пусть

\[ m=(100{,}0\pm0{,}1)\ \text{г}, \]
\[ d=(20{,}00\pm0{,}05)\ \text{мм}, \]
\[ h=(50{,}0\pm0{,}1)\ \text{мм}. \]

Объём:

\[ V=\frac{\pi d^2h}{4}. \]

Относительная неопределённость объёма:

\[ \left(\frac{\sigma_V}{V}\right)^2 = \left(2\frac{\sigma_d}{d}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_h}{h}\right)^2. \]

Для плотности \(\rho=m/V\) добавляется вклад массы.

Типичные ошибки

  • Записывать погрешность с шестью цифрами.
  • Усреднять систематическую ошибку.
  • Сравнивать два числа без учёта интервалов неопределённости.
  • Использовать процентную погрешность для величины, близкой к нулю.
  • Отбрасывать неудобные измерения без причины.

Самопроверка

  1. Что уменьшается как \(1/\sqrt N\) при независимых повторениях?
  2. Длина \(50{,}0\pm0{,}5\) см. Какова относительная погрешность?
  3. Если площадь \(S=\pi r^2\), как примерно связаны относительные погрешности \(S\) и \(r\)?
Ответы 1. Стандартная ошибка среднего. 2. \(1\%\). 3. \(\sigma_S/S\approx2\sigma_r/r\).