Системы счисления

1. Типы систем счисления

1. Позиционные — значение цифры зависит от позиции.
   Примеры: двоичная, десятичная, восьмеричная, шестнадцатеричная.
2. Непозиционные — каждая цифра имеет фиксированное значение.
   Примеры: римские числа.
3. Смешанные — специальные правила для разных оснований.
   Пример: время (часы, минуты, секунды — разные основания).

Общая формула позиционной системы:
\(N = d_0 \cdot b^0 + d_1 \cdot b^1 + d_2 \cdot b^2 + \dots + d_n \cdot b^n\)

• \(d_0\) — младший разряд
• \(d_n\) — старший разряд
• \(b\) — основание системы

Пример: \(1011_2\) → десятичное
\(1\cdot2^3 + 0\cdot2^2 + 1\cdot2^1 + 1\cdot2^0 = 11_{10}\)

2. Перевод из десятичной системы

2.1 Делением с остатком (для целых чисел)

1. Делим число на основание новой системы.
2. Записываем остаток.
3. Берём частное и повторяем, пока не получится 0.
4. Число в новой системе = остатки снизу вверх.

Пример: \(345_{10}\) → двоичная

Деление	Частное	Остаток
\(345 \div 2\)	172	1
\(172 \div 2\)	86	0
\(86 \div 2\)	43	0
\(43 \div 2\)	21	1
\(21 \div 2\)	10	1
\(10 \div 2\)	5	0
\(5 \div 2\)	2	1
\(2 \div 2\)	1	0
\(1 \div 2\)	0	1

Результат: \(101011001_2\)

2.2 Через позиционную запись (для дробных чисел)

Для числа с целой и дробной частью:
\(N = \sum_{k=0}^{n} d_k \cdot b^k + \sum_{k=1}^{m} f_k \cdot b^{-k}\)

Пример: \(101.11_2\) → десятичное
\(1\cdot2^2 + 0\cdot2^1 + 1\cdot2^0 + 1\cdot2^{-1} + 1\cdot2^{-2} = 5.75_{10}\)

3. Прямой перевод между системами

Используется для систем с основаниями, кратными друг другу (2↔8, 2↔16).

• Двоичная → Восьмеричная: группы по 3 бита справа налево.
• Двоичная → Шестнадцатеричная: группы по 4 бита справа налево.
• Восьмеричная → Двоичная: каждая цифра = 3 бита.
• Шестнадцатеричная → Двоичная: каждая цифра = 4 бита.

Примеры:

1. \(110101111001_2\) → шестнадцатеричная
   • Группируем по 4: \(1101\ 0111\ 1001\)
   • Переводим: \(1101=D\), \(0111=7\), \(1001=9\)
   • Результат: \(D79_{16}\)
2. \(D79_{16}\) → двоичная
   • \(D=1101\), \(7=0111\), \(9=1001\)
   • Результат: \(110101111001_2\)
3. \(110101_2\) → восьмеричная
   • Группируем по 3: \(110\ 101\)
   • Переводим: \(110=6\), \(101=5\)
   • Результат: \(65_8\)

4. Отрицательные числа в двоичной системе

Для представления отрицательных чисел в двоичной используются:

1. Прямой код — старший бит = знак (0 = +, 1 = -), остальные биты = модуль числа.
   Недостаток: два нуля (+0 и -0).
2. Обратный код — отрицательное число = инверсия всех битов положительного числа.
   Пример: \(5_{10} = 0101_2 \Rightarrow -5 = 1010_2\).
3. Дополнительный код (Two’s complement) — инверсия всех битов + 1.
   Пример: \(5_{10} = 0101_2 \Rightarrow -5 = 1011_2\)
   Преимущество: одно представление нуля, удобен для арифметики.

   5. Таблица методов перевода

Метод	Когда использовать	Пример
Позиционная запись	Любая система → десятичная	\(1011_2 \to 11_{10}\)
Делением с остатком	Десятичная → любая	\(345_{10} \to 101011001_2\)

Прямой перевод

Системы с основаниями 2, 8, 16

\(110101_2 \to 65_8\) или \(D79_{16}\)