Шпаргалки / Математика / Школа / Матанализ

Определение предела функции

Предел функции $f(x)$ при $x \to a$ — это величина, к которой стремится значение функции при стремлении её аргумента к $a$.

\[ \lim_{x \to a} f(x) = L \]

Односторонние пределы

  • Левосторонний: $lim_{x→a^-} f(x) = L$ — когда x стремится к a слева (с меньших значений).
  • Правосторонний: $lim_{x→a^+} f(x) = L$ — когда x стремится к a справа (с больших значений).
  • Обычный предел существует ↔ левый = правый предел.

Несколько полезных стандартных пределов

Предел Значение
$\lim_{x\to0} \frac{\sin x}{x}$ 1
$\lim_{x\to0} \frac{1-\cos x}{x^2}$ $\frac{1}{2}$
$\lim_{x\to\infty} (1+\frac{1}{x})^x$ e
$\lim_{x\to0} (1+x)^{1/x}$ e

Основные свойства пределов

  1. Линейность:
\[ \lim_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \pm \lim_{x \to a} g(x) \]
  1. Произведение:
\[ \lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{x \to a} f(x) \cdot \lim_{x \to a} g(x) \]
  1. Деление:
\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}, \quad \lim_{x \to a} g(x) \neq 0 \]
  1. Степень:
\[ \lim_{x \to a} [f(x)]^n = [\lim_{x \to a} f(x)]^n \]

Пределы с неопределённостями

Неопределённые формы

  • $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$ → использовать разложение, факторизацию, правило Лопиталя
  • $\infty - \infty$, $0\cdot\infty$, $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$ → особые методы

Важно:
Когда пишут $\frac{0}{0}$, на самом деле это не ноль как таковой, а бесконечно малая величина в пределах, то есть выражение стремится к нулю, но отношение этих малых величин может иметь любой конечный предел.

Методы решения

Пример:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]

Методы решения:

  • Разложение на множители
  • Эквивалентные бесконечно малые: $\sin x \sim x, \quad 1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$
  • Правило Лопиталя
  • Замена переменных
  • Разложение в ряд тейлора

Правило Лопиталя

Если $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ имеет вид $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$, то предел отношения функций равен пределу отношения их производных:

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f’(x)}{g’(x)}, \quad \text{если предел существует.}$

⚠️ Можно применять несколько раз, пока не получится конечный предел.

Разложение на множители

Если дробь при $x \to a$ даёт $\frac{0}{0}$, можно вынести общий множитель и сократить.

Пример:

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1) = 2$

Эквивалентные бесконечно малые

При малых $x$ функции ведут себя почти как простые выражения:

$\sin x \sim x, \quad 1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}, \quad \tan x \sim x$

Пример:

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} \sim \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{x^2} = \frac{1}{2}$

Замена переменной

Вводим новую переменную $t = \phi(x)$, чтобы свести предел к известному виду.

Пример:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}, \quad t = 3x \]
\[ \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} \cdot 3 = 3 \]

Разложение в ряд Тейлора

Разложение функции в степенной ряд около точки $x=a$ помогает выделить главные слагаемые.

Пример:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} \]

Разложим $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \dots$, тогда:

\[ \frac{e^x - 1 - x}{x^2} = \frac{\frac{x^2}{2} + \dots}{x^2} \to \frac{1}{2} \]

Пределы на бесконечности

  • $\lim_{x->inf} f(x) = L$ — горизонтальная асимптота
  • $\lim_{x->a} f(x) = inf$ — вертикальная асимптота

Асимптотическое сравнение

  • $f(x) = o(g(x))$ при $x \to a \implies \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = 0$
  • $f(x) \sim g(x) \implies \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = 1$

    Пределы последовательностей

Последовательность ${a_n}$ стремится к $A$, если для любого $\varepsilon>0$ найдётся $N$, что для всех $n>N$ выполняется:

\[ |a_n - A| < \varepsilon \]

Пример:

\[ a_n = \frac{n}{n+1} \implies \lim_{n\to\infty} a_n = 1 \]

Пределы через производную (пограничные формы)

  • Используется правило Лопиталя: если предел вида $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty}{\infty}$:
\[ \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}, \quad \text{если предел существует} \]

Точки разрыва

Если функция скачет, обрывается, пропадает или меняет направление слишком резко,
то в этой точке предел не существует или не совпадает со значением функции.

Такую точку называют точкой разрыва.

Когда функция “разрывается”

Функция $f(x)$ имеет разрыв в точке $x = a$, если:

\[ \lim_{x \to a^-} f(x) \ne \lim_{x \to a^+} f(x) \]

или

\[ \lim_{x \to a} f(x) \ne f(a) \]

или предел просто не существует вовсе.

Типы точек разрыва

  • Если функция не имеет ни одного разрыва — она непрерывна на своём множестве определения.
  • Точки разрыва помогают понять, где функция ломается и как себя ведёт на границах.

1. Устранимый разрыв (разрыв I рода)

Предел существует, но не совпадает со значением функции,
или функция просто не определена в этой точке.

\[ \lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L, \quad \text{но либо } f(a) \ne L, \text{ либо } f(a) \text{ нет.} \]

Устранимый разрыв можно “исправить”, если задать функции правильное значение в этой точке.

Пример:

\[ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \]

При $x=1$:

\[ f(x) = x + 1, \quad \text{но } f(1) \text{ не определена.} \]
\[ \lim_{x \to 1} f(x) = 2 \]

2. Скачок функции

Слева и справа пределы существуют, но не равны друг другу.

\[ \lim_{x \to a^-} f(x) = L_1, \quad \lim_{x \to a^+} f(x) = L_2, \quad L_1 \ne L_2 \]

Пример:

\[ f(x) = \begin{cases} 1, & x < 0 \\ 2, & x \ge 0 \end{cases} \]

→ при (x=0) скачок: слева 1, справа 2.

\[ \lim_{x \to 0^-} f(x) = 1, \lim_{x \to 0^+} f(x) = 2 \]

3. Разрыв II рода (неустранимый, бесконечный или хаотичный)

Хотя бы один из односторонних пределов не существует
(например, уходит в бесконечность).

\[ \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty, \quad \text{или не существует вообще.} \]

Примеры:

  • Бесконечный разрыв: $f(x) = \frac{1}{x}$ при $x = 0$ — функция стремится к $+\infty$ справа и $-\infty$ слева.

  • Колебательный разрыв: $f(x) = \sin\frac{1}{x}$ при $x \to 0$ колеблется, предела нет вовсе.