Шпаргалки / Физика / Квантовая физика

Квантовая механика

Уровень: Вуз

Квантовая механика заменяет классическую траекторию состоянием, из которого вычисляются вероятности результатов измерения.

Что надо понять

  • Волновая функция сама не наблюдается, но \(|\psi|^2\) задаёт плотность вероятности.
  • Изолированное состояние эволюционирует по уравнению Шрёдингера.
  • Наблюдаемым соответствуют эрмитовы операторы.
  • Граничные условия приводят к квантованию связанных состояний.

Основные формулы

1. Нормировка и правило Борна

\[ \int |\psi|^2dx=1,\qquad P(a<x<b)=\int_a^b|\psi|^2dx \]

Вероятности складываются, амплитуды могут интерферировать.

2. Уравнение Шрёдингера

\[ i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=\hat H\psi \]

Гамильтониан является оператором полной энергии.

3. Стационарная задача

\[ \hat H\psi_n=E_n\psi_n \]

Собственные значения дают разрешённые энергии.

4. Среднее значение

\[ \langle A\rangle=\int\psi^*\hat A\psi\,dx \]

Среднее относится к ансамблю одинаково подготовленных систем.

5. Неопределённость

\[ \Delta x\,\Delta p\ge\frac{\hbar}{2} \]

Это свойство состояния, а не неисправность прибора.

6. Коммутатор

\[ [\hat A,\hat B]=\hat A\hat B-\hat B\hat A \]

Некоммутирующие наблюдаемые обычно не имеют общего набора точных состояний.

График или схема

Плотность вероятности основного состояния в яме

Разобранные задачи

Задача 1. Бесконечная яма

Условие. Сравнить энергии уровней \(n=1\) и \(n=2\).

Решение.

Для ямы длиной \(L\):

\[ E_n=\frac{\pi^2\hbar^2n^2}{2mL^2}. \]
\[ \frac{E_2}{E_1}=4. \]

При переходе \(2\to1\) испускается энергия \(3E_1\).

Ответ: \(E_2=4E_1\).

Задача 2. Нормировка

Условие. Волновая функция на отрезке \(0<x<L\) имеет вид \(\psi=A\sin(\pi x/L)\).

Решение.

\[ 1=|A|^2\int_0^L\sin^2\left(\frac{\pi x}{L}\right)dx. \]

Интеграл равен \(L/2\), поэтому

\[ |A|^2\frac{L}{2}=1, \]
\[ A=\sqrt{\frac{2}{L}} \]

с точностью до постоянной фазы.

Ответ: \(A=\sqrt{2/L}\).

Задача 3. Де Бройль

Условие. Электрон имеет импульс \(2\cdot10^{-24}\) кг·м/с. Найти длину волны.

Решение.

\[ \lambda=\frac{h}{p} =\frac{6{,}626\cdot10^{-34}}{2\cdot10^{-24}} \approx3{,}31\cdot10^{-10}\,\text{м}. \]

Ответ: \(0{,}331\) нм.

Задача 4. Неопределённость

Условие. Координата локализована с \(\Delta x=1\) нм. Оценить минимальную \(\Delta p\).

Решение.

\[ \Delta p_{\min}\approx\frac{\hbar}{2\Delta x} =\frac{1{,}055\cdot10^{-34}}{2\cdot10^{-9}} \approx5{,}3\cdot10^{-26}\,\text{кг·м/с}. \]

Ответ: \(5{,}3\cdot10^{-26}\) кг·м/с.

Алгоритм решения

  1. Задать потенциал и область.
  2. Записать гамильтониан.
  3. Решить дифференциальное уравнение.
  4. Применить граничные условия.
  5. Нормировать состояние.
  6. Вычислить вероятности, средние и неопределённости.

Частые ошибки

  • Считать \(\psi\) непосредственно измеримой.
  • Забывать нормировку.
  • Считать неопределённость ошибкой прибора.
  • Допускать \(n=0\) в бесконечной яме.

Задачи для самопроверки

  1. Как зависит энергия ямы от \(L\)?
ОтветКак \(1/L^2\).
  1. Что означает \(|\psi|^2\)?
ОтветПлотность вероятности.
  1. Почему связанный спектр часто дискретен?
ОтветИз-за граничных условий и нормируемости.

Связи с другими темами

Краткий итог

Квантовая механика заменяет классическую траекторию состоянием, из которого вычисляются вероятности результатов измерения.