Свойства логарифмов
Логарифм -это показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить заданное число. Фактически логарифм — это «перевёрнутая степень».
\[
\log_a{b}=c,
\quad
a\gt0,\quad a\neq\quad b\gt0
\]
Свойства
Для любых действительных \(a>0, a \neq 1, b>0, c>0, d>0, d\neq1\) справедливы равенства:
| Формула | |
|---|---|
| Произведение | \(\log_a(bc)=\log_a(b)+\log_a(c)\) |
| Частное от деления | \(\log_a(\frac{b}{c})=\log_a(b)-\log_a(c)\) |
| Степень | \(\log_a(b^p)=p\log_a(b)\) |
| Степень в основании | \(\log_{(a^p)}(b)=\frac{1}{p}log_a(b)\) |
| Корень | \(\log_a(\sqrt[p]{b})=\frac{1}{p}\log_a(b)\) |
| Корень в основании | \(\log_{\sqrt[p]{a}}(b)=p\log_a(b)\) |
| Замена основания логарифма | \(\log_a{b}=\frac{log_c{b}}{\log_c{a}}=\frac{1}{\log_b{a}}\) |
| Логарифм 1 равен нулю при любом основании | \(\log_a{1}=0\) |
| Логарифм, у которого основание и заданное число совпадают, всегда равняется 1 | \(\log_a{a}=1\) |
| Основное логарифмическое тождество | \(a^{\log_a{b}}=b\) \(a^{\log_bc}=c^{\log_ba} ,\quad a>0\) |
| \(\log_ab\cdot\log_bc=\log_ac\) | |