Свойства логарифмов
Логарифм -это показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить заданное число. Фактически логарифм — это «перевёрнутая степень».
\[
\log_a{b}=c,
\quad
a\gt0,\quad a\neq\quad b\gt0
\]
Свойства
Для любых действительных $a>0, a \neq 1, b>0, c>0, d>0, d\neq1$ справедливы равенства:
| Формула | |
|---|---|
| Произведение | $\log_a(bc)=\log_a(b)+\log_a(c)$ |
| Частное от деления | $\log_a(\frac{b}{c})=\log_a(b)-\log_a(c)$ |
| Степень | $\log_a(b^p)=p\log_a(b)$ |
| Степень в основании | $\log_{(a^p)}(b)=\frac{1}{p}log_a(b)$ |
| Корень | $\log_a(\sqrt[p]{b})=\frac{1}{p}\log_a(b)$ |
| Корень в основании | $\log_{\sqrt[p]{a}}(b)=p\log_a(b)$ |
| Замена основания логарифма | $\log_a{b}=\frac{log_c{b}}{\log_c{a}}=\frac{1}{\log_b{a}}$ |
| Логарифм 1 равен нулю при любом основании | $\log_a{1}=0$ |
| Логарифм, у которого основание и заданное число совпадают, всегда равняется 1 | $\log_a{a}=1$ |
| Основное логарифмическое тождество | $a^{\log_a{b}}=b$ $a^{\log_bc}=c^{\log_ba} ,\quad a>0$ |
| $\log_ab\cdot\log_bc=\log_ac$ | |