Шпаргалки / Физика / Колебания и волны

01. Гармонические колебания

Гармонические колебания

Уровень: база → первый курс

Колебание

Колебание — движение или изменение состояния, повторяющееся около положения равновесия.

Для механического колебания нужны:

  • устойчивое равновесие;
  • инерция;
  • возвращающее взаимодействие.

Гармоническое колебание

\[ x(t)=A\cos(\omega t+\varphi_0). \]
  • \(A\) — амплитуда;
  • \(\omega\) — угловая частота;
  • \(\varphi=\omega t+\varphi_0\) — фаза;
  • \(\varphi_0\) — начальная фаза.
\[ T=\frac{2\pi}{\omega}, \]
\[ f=\frac1T, \]
\[ \omega=2\pi f. \]

Скорость и ускорение

\[ v=-A\omega\sin(\omega t+\varphi_0), \]
\[ a=-A\omega^2\cos(\omega t+\varphi_0). \]

Поэтому

\[ a=-\omega^2x. \]

Ускорение всегда направлено к равновесию.

Максимумы:

\[ v_{\max}=A\omega, \]
\[ a_{\max}=A\omega^2. \]

Пружинный осциллятор

\[ F=-kx. \]
\[ m\ddot x=-kx. \]
\[ \ddot x+\frac kmx=0. \]
\[ \omega_0=\sqrt{\frac km}. \]
\[ T=2\pi\sqrt{\frac mk}. \]

Вертикальная пружина имеет смещённое положение равновесия, но период в линейной модели тот же.

Математический маятник

Точное уравнение:

\[ \ddot\theta+\frac gl\sin\theta=0. \]

Для малых углов в радианах:

\[ \sin\theta\approx\theta. \]
\[ \ddot\theta+\frac gl\theta=0. \]
\[ T\approx2\pi\sqrt{\frac lg}. \]

При больших амплитудах период растёт и зависит от амплитуды.

Энергия

Пружина:

\[ E=\frac{mv^2}{2}+\frac{kx^2}{2} =\frac{kA^2}{2}. \]

В равновесии:

\[ |v|=v_{\max}. \]

В крайних точках:

\[ v=0. \]

Фаза

Смещение и ускорение противофазны. Скорость сдвинута по фазе на \(\pi/2\) относительно смещения.

Пример 1. Пружина

\(m=0{,}5\) кг, \(k=200\) Н/м:

\[ T=2\pi\sqrt{\frac{0{,}5}{200}} \approx0{,}314\ \text{с}. \]

Пример 2. Максимальная скорость

\(A=0{,}2\) м, \(k=50\) Н/м, \(m=2\) кг:

\[ \omega=\sqrt{25}=5\ \text{рад/с}. \]
\[ v_{\max}=A\omega=1\ \text{м/с}. \]

Пример 3. Маятник

\(l=1\) м:

\[ T\approx2\pi\sqrt{\frac1{9{,}8}} \approx2{,}01\ \text{с}. \]

Малые колебания около минимума

Если потенциальная энергия имеет минимум в \(x_0\):

\[ U(x)\approx U(x_0)+\frac12U''(x_0)(x-x_0)^2. \]

Тогда почти любая система при достаточно малых отклонениях ведёт себя как гармонический осциллятор:

\[ \omega^2=\frac{U''(x_0)}{m}. \]

Это одна из самых универсальных идей физики.

Ошибки

  • Путать частоту и угловую частоту.
  • Считать скорость максимальной в крайней точке.
  • Применять формулу маятника при больших углах без поправки.
  • Считать период пружины зависящим от амплитуды в линейной модели.

Самопроверка

  1. Где максимальна кинетическая энергия?
  2. Как изменится период пружины при увеличении массы в 4 раза?
  3. Почему малые колебания часто гармонические?
Ответы 1. В равновесии. 2. Увеличится в 2 раза. 3. Потенциал около устойчивого минимума приближённо квадратичен.