Системы линейных уравнений
1. Общие понятия
- СЛАУ: \(Ax = b\), где
- \(A\) — матрица коэффициентов
- \(x\) — вектор неизвестных
- \(b\) — вектор свободных членов
-
Ранг матрицы: число линейно независимых строк или столбцов → показывает, сколько реально независимых уравнений
-
Линейная зависимость: если одно уравнение можно получить через комбинацию других → оно не добавляет новой информации
- Совместимость:
- \(\text{rank}(A)=\text{rank}([A|b])=n\) → уникальное решение
- \(\text{rank}(A)=\text{rank}([A|b])<n\) → бесконечно много решений
- \(\text{rank}(A)\neq\text{rank}([A|b])\) → несовместная система
2. Методы решения
2.1 Метод Гаусса (прямой ход + обратный ход)
Идея: приводим систему к ступенчатому виду, потом решаем сверху вниз.
Пример:
\[
\begin{cases}
x + y + z = 6\\
2y + 5z = -4\\
2x + 5y - z = 27
\end{cases}
\]
Шаги:
- Составляем расширенную матрицу \([A|b]\):
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 6\\
0 & 2 & 5 & -4\\
2 & 5 & -1 & 27
\end{pmatrix}
\]
- Приводим к ступенчатому виду (обнуляем элементы под диагональю):
- \(R_3 = R_3 - 2R_1\):
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 6\\
0 & 2 & 5 & -4\\
0 & 3 & -3 & 15
\end{pmatrix}
\]
- \(R_3 = R_3 - (3/2)R_2\):
\[
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 6\\
0 & 2 & 5 & -4\\
0 & 0 & -15.5 & 21
\end{pmatrix}
\]
- Обратный ход: находим \(z\), потом \(y\), потом \(x\):
- \(z = 21 / -15.5 \approx -1.3548\)
- \(y = (-4 - 5z)/2 \approx 0.387\)
- \(x = 6 - y - z \approx 6 - 0.387 + 1.3548 \approx 6.9678\)
Пояснение:
- Гаусс удобен для любых систем, в том числе несовместных или с бесконечным числом решений
- Геометрически: пересечение трёх плоскостей в 3D
2.2 Метод Крамера (только квадратные системы, \(\det(A)\neq 0\))
Идея: каждую неизвестную находим через определители.
Формулы:
\[
x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)},
\]
где \(A_i\) — матрица \(A\) с заменой \(i\)-го столбца на \(b\)
Пример:
\[
\begin{cases}
x + y = 5\\
2x - y = 1
\end{cases}
\]
- Матрица коэффициентов и вектор \(b\):
\[
A = \begin{pmatrix}1 & 1\\2 & -1\end{pmatrix},\quad b = \begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}
\]
- Определитель \(A\):
\[
\det(A) = 1*(-1) - 1*2 = -1 -2 = -3
\]
- Заменяем первый столбец на \(b\):
\[
A_1 = \begin{pmatrix}5 & 1\\1 & -1\end{pmatrix}, \det(A_1) = 5*(-1) -1*1=-5-1=-6
\]
- \(x = \det(A_1)/\det(A) = -6 / -3 = 2\)
- Заменяем второй столбец на \(b\):
\[
A_2 = \begin{pmatrix}1 & 5\\2 & 1\end{pmatrix}, \det(A_2) = 1*1 -5*2=1-10=-9
\]
- \(y = \det(A_2)/\det(A) = -9/-3=3\)
Ответ: \(x=2, y=3\)
Пояснение:
- Метод Крамера быстрый для маленьких квадратных систем
- Геометрически: пересечение двух прямых в 2D
2.3 Через обратную матрицу
Идея: \(Ax=b \Rightarrow x = A^{-1}b\) (только если \(\det(A)\neq0\))
Пример:
\[
\begin{cases}
x + 2y = 5\\
3x + y = 4
\end{cases}
\]
- Составляем матрицу \(A\) и \(b\):
\[
A=\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 1\end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix}
\]
- Находим обратную 2×2:
\[
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix}1 & -2\\-3 & 1\end{pmatrix}, \det(A)=1*1-2*3=1-6=-5
\]
\[
A^{-1} = \frac{1}{-5}\begin{pmatrix}1 & -2\\-3 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-0.2 & 0.4\\0.6 & -0.2\end{pmatrix}
\]
- Умножаем на \(b\):
\[
x = A^{-1}b = \begin{pmatrix}-0.2 & 0.4\\0.6 & -0.2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1+1.6\\3-0.8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0.6\\2.2\end{pmatrix}
\]
Ответ: \(x=0.6, y=2.2\)
Пояснение:
- Очень удобно для программирования и больших систем, если есть обратная матрица
3. Практические моменты
- Связь с рангом:
- Ранг = число независимых уравнений → проверка совместимости
- Линейная зависимость:
- Если строки зависимы → \(\det(A)=0\) → нельзя использовать Крамера или обратную матрицу
- Геометрический смысл:
- В 2D: прямые
- В 3D: плоскости
- Пересечение = решение системы
Советы:
- Проверка ранга помогает понять, сколько решений
- Гаусс — универсальный метод для любых систем
- Крамер и обратная — быстрые, но только для квадратных систем с \(\det\neq0\)