Шпаргалки / Математика / Школа / Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Системы линейных уравнений

  • СЛАУ: $Ax = b$, где
    • $A$ — матрица коэффициентов
    • $x$ — вектор неизвестных
    • $b$ — вектор свободных членов

  • Ранг матрицы: число линейно независимых строк или столбцов → показывает, сколько реально независимых уравнений

  • Линейная зависимость: если одно уравнение можно получить через комбинацию других → оно не добавляет новой информации

  • Совместимость:
    • $\text{rank}(A)=\text{rank}([A b])=n$ → уникальное решение
    • $\text{rank}(A)=\text{rank}([A b])<n$ → бесконечно много решений
    • $\text{rank}(A)\neq\text{rank}([A b])$ → несовместная система

2. Методы решения

2.1 Метод Гаусса (прямой ход + обратный ход)

Идея: приводим систему к ступенчатому виду, потом решаем сверху вниз.

Пример:

\[ \begin{cases} x + y + z = 6\\ 2y + 5z = -4\\ 2x + 5y - z = 27 \end{cases} \]

Шаги:

  1. Составляем расширенную матрицу $[A b]$:
\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 6\\ 0 & 2 & 5 & -4\\ 2 & 5 & -1 & 27 \end{pmatrix} \]
  1. Приводим к ступенчатому виду (обнуляем элементы под диагональю):
  • $R_3 = R_3 - 2R_1$:
\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 6\\ 0 & 2 & 5 & -4\\ 0 & 3 & -3 & 15 \end{pmatrix} \]
  • $R_3 = R_3 - (3/2)R_2$:
\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 6\\ 0 & 2 & 5 & -4\\ 0 & 0 & -15.5 & 21 \end{pmatrix} \]
  1. Обратный ход: находим $z$, потом $y$, потом $x$:
  • $z = 21 / -15.5 \approx -1.3548$
  • $y = (-4 - 5z)/2 \approx 0.387$
  • $x = 6 - y - z \approx 6 - 0.387 + 1.3548 \approx 6.9678$

Пояснение:

  • Гаусс удобен для любых систем, в том числе несовместных или с бесконечным числом решений
  • Геометрически: пересечение трёх плоскостей в 3D

2.2 Метод Крамера (только квадратные системы, $\det(A)\neq 0$)

Идея: каждую неизвестную находим через определители.

Формулы:

\[ x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}, \]

где $A_i$ — матрица $A$ с заменой $i$-го столбца на $b$

Пример:

\[ \begin{cases} x + y = 5\\ 2x - y = 1 \end{cases} \]
  1. Матрица коэффициентов и вектор $b$:
\[ A = \begin{pmatrix}1 & 1\\2 & -1\end{pmatrix},\quad b = \begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix} \]
  1. Определитель $A$:
\[ \det(A) = 1*(-1) - 1*2 = -1 -2 = -3 \]
  1. Заменяем первый столбец на $b$:
\[ A_1 = \begin{pmatrix}5 & 1\\1 & -1\end{pmatrix}, \det(A_1) = 5*(-1) -1*1=-5-1=-6 \]
  • $x = \det(A_1)/\det(A) = -6 / -3 = 2$
  1. Заменяем второй столбец на $b$:
\[ A_2 = \begin{pmatrix}1 & 5\\2 & 1\end{pmatrix}, \det(A_2) = 1*1 -5*2=1-10=-9 \]
  • $y = \det(A_2)/\det(A) = -9/-3=3$

Ответ: $x=2, y=3$

Пояснение:

  • Метод Крамера быстрый для маленьких квадратных систем
  • Геометрически: пересечение двух прямых в 2D

2.3 Через обратную матрицу

Идея: $Ax=b \Rightarrow x = A^{-1}b$ (только если $\det(A)\neq0$)

Пример:

\[ \begin{cases} x + 2y = 5\\ 3x + y = 4 \end{cases} \]
  1. Составляем матрицу $A$ и $b$:
\[ A=\begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 1\end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix} \]
  1. Находим обратную 2×2:
\[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix}1 & -2\\-3 & 1\end{pmatrix}, \det(A)=1*1-2*3=1-6=-5 \]
\[ A^{-1} = \frac{1}{-5}\begin{pmatrix}1 & -2\\-3 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-0.2 & 0.4\\0.6 & -0.2\end{pmatrix} \]
  1. Умножаем на $b$:
\[ x = A^{-1}b = \begin{pmatrix}-0.2 & 0.4\\0.6 & -0.2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}5\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1+1.6\\3-0.8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0.6\\2.2\end{pmatrix} \]

Ответ: $x=0.6, y=2.2$

Пояснение:

  • Очень удобно для программирования и больших систем, если есть обратная матрица

3. Практические моменты

  • Связь с рангом:
    • Ранг = число независимых уравнений → проверка совместимости
  • Линейная зависимость:
    • Если строки зависимы → $\det(A)=0$ → нельзя использовать Крамера или обратную матрицу
  • Геометрический смысл:
    • В 2D: прямые
    • В 3D: плоскости
    • Пересечение = решение системы

Советы:

  • Проверка ранга помогает понять, сколько решений
  • Гаусс — универсальный метод для любых систем
  • Крамер и обратная — быстрые, но только для квадратных систем с $\det\neq0$