Шпаргалки / Математика / Школа / Теория вероятностей и мат.статистика

Меры разброса

Меры разброса выборки

Меры разброса показывают, как сильно различаются значения выборки, насколько данные «разбросаны» относительно центра (например, среднего или медианы).

1. Выборочная дисперсия

Определение: среднее квадратичное отклонение значений от среднего.

Формула:

S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2

$$x_i$$ — значения выборки
$\bar{x}$ — среднее выборки
$$n$$ — размер выборки

Применение:
Используется для оценки изменчивости данных, основной показатель в статистике.

Пример:

Выборка: $$[2, 4, 6]$$
$\bar{x} = 4$

S^2 = \frac{(2-4)^2 + (4-4)^2 + (6-4)^2)}{3-1} = \frac{4 + 0 + 4}{2} = 4

2. Стандартное отклонение

Определение: квадратный корень из дисперсии.

Формула:

S = \sqrt{S^2}

Применение:
Показывает, насколько в среднем значения отклоняются от среднего. Более наглядно, чем дисперсия, так как имеет те же единицы, что и данные.

Пример:

S = \sqrt{4} = 2

3. Размах

Определение: разница между максимальным и минимальным значением выборки.

Формула:

R = x_{\max} - x_{\min}

Применение:
Простая оценка разброса, показывает полный диапазон данных. Чувствителен к выбросам.

Пример:

Выборка: $$[3, 5, 2, 8, 6]$$
$$R = 8 - 2 = 6$$

4. Межквартильный размах (IQR)

Определение: разница между третьим и первым квартилями.

Формула:

\[ IQR = Q_3 - Q_1 \]

Применение:
Показывает диапазон «средней половины» данных, менее чувствителен к выбросам, чем размах.

Пример:

Выборка: $$[1,2,3,4,5,6,7,8]$$
$$Q_1 = 2.5$$ , $$Q_3 = 6.5$$

\[ IQR = 6.5 - 2.5 = 4 \]

5. Коэффициент вариации

Определение: отношение стандартного отклонения к среднему, выраженное в процентах.

Формула:

V = \frac{S}{\bar{x}} \cdot 100\%

Применение:
Позволяет сравнивать разброс разных выборок с разными средними.

Пример:

Выборка: $$[2, 4, 6]$$ , $$S = 2$$ , $\bar{x} = 4$

V = \frac{2}{4} \cdot 100\% = 50\%

6. Среднее абсолютное отклонение (MAD)

Определение: среднее абсолютное отклонение значений от среднего или медианы.

Формула:

MAD = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|

Применение:
Менее чувствительно к выбросам, чем дисперсия. Используется для анализа распределений с выбросами.

Пример:

Выборка: $$[2,4,6]$$ , $\bar{x}=4$

MAD = \frac{|2-4| + |4-4| + |6-4|}{3} = \frac{2+0+2}{3} = 1.33

Итоговая таблица мер разброса

Мера	Формула	Для чего применяется	Пример
Дисперсия	$S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$	Измеряет изменчивость данных	4
Стандартное отклонение	$S = \sqrt{S^2}$	Среднее отклонение от среднего	2
Размах	$R = x_{\max} - x_{\min}$	Общий диапазон данных	6
Межквартильный размах	$$IQR = Q_3 - Q_1$$	Разброс центральной половины данных	4
Коэффициент вариации	$V = \frac{S}{\bar{x}} \cdot 100\%$	Сравнение разброса разных выборок	50%
Среднее абсолютное отклонение	$MAD = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \lvert x_i - \bar{x} \rvert$	Менее чувствительное к выбросам	1.33