Комплексные числа
Определение
- Комплексное число:
\[
z = x + iy
\]
где $x$ — действительная часть, $y$ — мнимая часть, $i^2 = -1$
- Действительная часть:
\[
\Re(z) = x
\]
- Мнимая часть:
\[
\Im(z) = y
\]
Модуль и аргумент
- Модуль:
\[
|z| = \sqrt{x^2 + y^2}
\]
- Аргумент: угол с положительной осью действительных чисел:
\[
\arg z = \theta, \quad \tan \theta = \frac{y}{x}
\]
- Комплексное число в тригонометрической форме:
\[
z = |z|(\cos\theta + i \sin\theta)
\]
- Комплексное число в экспоненциальной форме (Эйлера):
\[
z = |z| e^{i\theta}
\]
3. Основные операции
| Операция | Формула |
|---|---|
| Сложение | $ (x_1 + i y_1) + (x_2 + i y_2) = (x_1 + x_2) + i (y_1 + y_2) $ |
| Вычитание | $ (x_1 + i y_1) - (x_2 + i y_2) = (x_1 - x_2) + i (y_1 - y_2) $ |
| Умножение | $ (x_1 + i y_1)(x_2 + i y_2) = (x_1 x_2 - y_1 y_2) + i (x_1 y_2 + x_2 y_1) $ |
| Деление | $ \frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \bar{z_2}}{|z_2|^2}, \quad \text{где } \bar{z} = x - i y $ |
| Комплексное сопряжение | $ \bar{z} = x - i y $ |
| Модуль числа | $ |z| = \sqrt{x^2 + y^2} $ |
| Модуль произведения | $ |z_1 z_2| = |z_1| \cdot |z_2| $ |
| Модуль частного | $ \left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|} $ |
| Аргумент произведения | $ \arg(z_1 z_2) = \arg z_1 + \arg z_2 $ |
| Аргумент частного | $ \arg!\left(\frac{z_1}{z_2}\right) = \arg z_1 - \arg z_2 $ |
4. Степени и корни
- Формула Муавра:
\[
(z^n) = |z|^n (\cos(n\theta) + i \sin(n\theta))
\]
- n-й корень комплексного числа:
\[
z_k = |z|^{1/n} \left[ \cos\frac{\theta + 2\pi k}{n} + i \sin\frac{\theta + 2\pi k}{n} \right], \quad k=0,1,\dots,n-1
\]
5. Примеры
- Сложение:
\[
(3+2i)+(1-5i) = 4 - 3i
\]
- Умножение:
\[
(1+2i)(3-i) = 1\cdot3 - 2\cdot(-1) + i(1\cdot(-1) + 2\cdot3) = 3+2 + i(-1+6) = 5 + 5i
\]
- Деление:
\[
\frac{1+2i}{1-i} = \frac{(1+2i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+ i +2i -2}{1+1} = \frac{-1+3i}{2} = -\frac12 + \frac{3}{2}i
\]
Полезные советы
- Для умножения и деления удобно переходить в тригонометрическую или экспоненциальную форму.
- Аргумент всегда учитывать с квадрантами: atan(y/x) + корректировка.
- Для корней использовать формулу Муавра и помнить про n различных корней.
- Комплексное сопряжение помогает при делении и нахождении модуля.