Шпаргалки / Математика / Школа / Геометрия

Треугольники

1. Определения

  • Треугольник — замкнутая фигура с 3 сторонами и 3 углами.
  • Вершины: $A, B, C$
  • Стороны: $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$
  • Углы: $\alpha = \angle A$, $\beta = \angle B$, $\gamma = \angle C$
  • Сумма внутренних углов:
\[ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ \]

2. Виды треугольников

2.1 По сторонам

  • Равносторонний: $a=b=c$
  • Равнобедренный: $a=b \neq c$
  • Разносторонний: $a \neq b \neq c$

2.2 По углам

  • Острый: все углы < $90^\circ$
  • Прямой: один угол = $90^\circ$
  • Тупой: один угол > $90^\circ$

3. Основные элементы

  1. Медиана: от вершины к середине противоположной стороны
\[ AM = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} \]
  1. Биссектриса: делит угол пополам и пересекает противоположную сторону
\[ l_a = \frac{2bc}{b+c}\cos\frac{\alpha}{2} \]

Делит противоположную сторону в отношении смежных сторон:

\[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \]
  1. Высота: перпендикуляр от вершины к противоположной стороне
\[ h_a = \frac{2S}{a} \]
  1. Средняя линия: соединяет середины двух сторон, параллельна третьей
\[ m = \frac{1}{2} a \]
  1. Центры треугольника:
    • Центр тяжести (G): пересечение медиан, делит медианы 2:1
    • Описанный центр (O): пересечение серединных перпендикуляров
    • Вписанный центр (I): пересечение биссектрис
    • Ортоцентр (H): пересечение высот

4. Площади треугольника

  1. Через основание и высоту:
\[ S = \frac{1}{2} a h_a \]
  1. Через две стороны и угол:
\[ S = \frac{1}{2} bc \sin \alpha \]
  1. Формула Герона:
\[ p = \frac{a+b+c}{2}, \quad S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \]
  1. Через радиус вписанной окружности $r$:
\[ S = p \cdot r \]
  1. Через радиус описанной окружности $R$:
\[ S = \frac{abc}{4R} \]
  1. Через диагональ (для прямоугольных координат):
\[ S = \frac{1}{2} AC \cdot BD \cdot \sin \theta \]

5. Признаки равенства треугольников

  1. По трём сторонам (SSS): $a=b$, $b=c$, $c=a$
  2. По двум сторонам и углу между ними (SAS): две стороны + угол между ними
  3. По стороне и двум прилежащим углам (ASA): сторона + два прилежащих угла
  4. По стороне и двум углам (AAS): сторона + два угла не между ними

6. Признаки подобия

  1. По трём углам (AAA): углы равны → треугольники подобны
  2. По двум сторонам и углу между ними (SAS): отношение сторон равно, угол между ними равен
  3. По трём сторонам (SSS): пропорции сторон равны → подобие

    7. Теоремы

  4. Теорема Пифагора (для прямоугольного треугольника):
\[ a^2 = b^2 + c^2 \]
  1. Теорема синусов:
\[ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R \]
  1. Теорема косинусов:
\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos \alpha \]
  1. Теорема о медиане:
\[ m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} \]
  1. Теорема о биссектрисе:
    Делит противоположную сторону пропорционально смежным сторонам:
\[ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \]
  1. Теорема о площадях треугольников с равными высотами: Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
\[ \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=\frac{a}{a_1} \]
  1. Теорема о площадях треугольников с равными основаниями: Если основания двух треугольников равны, то их площади относятся как их высоты.
\[ \frac{S_{ABC}}{S_{A_1B_1C_1}}=\frac{h}{h_1} \]
  1. Теорема о площадях треугольников с равными углами: Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы.
\[ \frac{S}{S_1}=\frac{ab}{a_1b_1} \]

  1. Свойство высот: пересечение высот — ортоцентр

  2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр: $\alpha = 90^\circ$

  3. Средняя линия: параллельна третьей стороне, длина = половине этой стороны

8. Вписанные и описанные окружности

  • Вписанная окружность:
    • Центр: точка пересечения биссектрис
    • Радиус: $r = \frac{2S}{a+b+c}$
  • Описанная окружность:
    • Центр: точка пересечения серединных перпендикуляров
    • Радиус: $R = \frac{abc}{4S}$

      9. Углы и соотношения

  • Сумма внутренних углов: $180^\circ$
  • Внешний угол = сумма двух несмежных внутренних углов
  • Противоположная сторона больше против большего угла

10. Полезные символы

Символ Значение
$A,B,C$ вершины треугольника
$a,b,c$ стороны против вершин A,B,C
$\alpha, \beta, \gamma$ углы при вершинах A,B,C
$S$ площадь
$h_a, h_b, h_c$ высоты
$m_a, m_b, m_c$ медианы
$l_a, l_b, l_c$ биссектрисы
$R$ радиус описанной окружности
$r$ радиус вписанной окружности
$p$ полупериметр: $p = \frac{a+b+c}{2}$
$G$ центр тяжести (точка пересечения медиан)
$O$ центр описанной окружности
$I$ центр вписанной окружности
$H$ ортоцентр (точка пересечения высот)