Шпаргалки / Физика / Электродинамика

02. Электрическое поле и напряжённость

Электрическое поле и напряжённость

Уровень: база → первый курс

Поле

Электрическое поле — физическое поле, через которое заряды взаимодействуют. Поле существует в пространстве и может переносить энергию и импульс.

Идея поля заменяет представление о мгновенном действии на расстоянии.

Напряжённость

В точке:

\[ \vec E=\frac{\vec F}{q_0}, \]

где \(q_0\) — малый положительный пробный заряд.

Сила на заряд:

\[ \vec F=q\vec E. \]

Для отрицательного заряда сила противоположна \(\vec E\).

Единицы:

\[ \text{Н/Кл}=\text{В/м}. \]

Поле точечного заряда

\[ \vec E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{r^2}\hat r. \]

Для \(Q>0\) направлено наружу, для \(Q<0\) — к заряду.

Суперпозиция

\[ \vec E(\vec r)=\sum_i\vec E_i(\vec r). \]

Для непрерывного распределения:

\[ \vec E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \int\frac{dq}{R^2}\hat R. \]

Силовые линии

Условные линии, касательная к которым совпадает с направлением \(\vec E\).

  • выходят из положительных зарядов;
  • входят в отрицательные;
  • не пересекаются;
  • густота качественно отражает модуль поля.

Они не являются реальными нитями и не обязаны быть траекториями заряда с инерцией.

Электрический поток

\[ \Phi_E=\int_S\vec E\cdot d\vec S. \]

Для однородного поля через плоскую поверхность:

\[ \Phi_E=ES\cos\alpha, \]

где угол между полем и нормалью.

Закон Гаусса

\[ \oint_S\vec E\cdot d\vec S = \frac{Q_{\text{внутр}}}{\varepsilon_0}. \]

Он всегда верен, но помогает вычислить поле только при симметрии.

Сфера

Вне сферически-симметричного заряда:

\[ E=\frac{kQ}{r^2}. \]

Бесконечная плоскость

\[ E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}. \]

Для двух противоположно заряженных пластин между ними:

\[ E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}. \]

Бесконечная линия

\[ E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}. \]

Пример 1. Поле заряда

\(Q=4\) нКл, \(r=0{,}3\) м:

\[ E=9\cdot10^9\frac{4\cdot10^{-9}}{0{,}3^2} =400\ \text{Н/Кл}. \]

Пример 2. Два одинаковых положительных заряда

В середине между ними поля равны и противоположны:

\[ \vec E=0. \]

Но потенциал положителен и складывается, что показывает различие векторного поля и скалярного потенциала.

Пример 3. Движение заряда в однородном поле

Для частицы массы \(m\) и заряда \(q\):

\[ \vec a=\frac{q\vec E}{m}. \]

Если поле постоянно, движение по направлению поля равноускоренное. Для электрона направление ускорения противоположно \(\vec E\).

Поле внутри проводника

В электростатическом равновесии:

\[ \vec E_{\text{внутр}}=0. \]

Иначе свободные заряды продолжали бы двигаться.

Ошибки

  • Путать направление поля и силы на отрицательный заряд.
  • Использовать закон Гаусса без симметрии для извлечения \(E\) из интеграла.
  • Считать силовые линии материальными.
  • Включать внешние заряды в \(Q_{\text{внутр}}\) потока через поверхность.

Самопроверка

  1. Куда направлено поле отрицательного точечного заряда?
  2. Какова сила на заряд \(-q\) в поле \(\vec E\)?
  3. Почему поток может быть нулевым при ненулевом поле?
Ответы 1. К заряду. 2. \(-q\vec E\). 3. Входящий и выходящий потоки могут компенсироваться.