Шпаргалки / Математика / Школа / Теория вероятностей и мат.статистика

Теория вероятностей

Формула классической вероятности (Лаплас)

Если все исходы равновозможны, то вероятность события А вычисляется по формуле:

P(A)=\frac{m}{n}

Где $$m$$ - число исходов испытания, благоприятствующих событию A, $$n$$ - общее число исходов, $$P(A)$$ называют вероятностью события A при данном испытании.

В своём труде “Аналитическая теория вероятностей” в 1812 году Пьер-Симон Де Лаплас вывел данную формулу.

Когда используется

Когда все исходы равновозможны.
В дискретных задачах — кубики, карты, монеты, урны и т.п.
Применяется в чисто теоретических ситуациях, где можно точно посчитать $$m$$ и $$n$$ .
Не подходит для непрерывных или неравновероятных случаев.

Геометрический смысл вероятности

Когда все точки на некоторой области равновозможны, вероятность события $$A$$ выражается как отношение меры (длины, площади, объёма и т. д.) области, благоприятствующей событию, к мере всей области возможных исходов.

P(A) = \frac{m(A)}{m(\Omega)}

где:

$$m(A)$$ — длина, площадь или объём части, где выполняется событие $$A$$ ;
$m(\Omega)$ — длина, площадь или объём всей области исходов;
$\Omega$ — множество всех возможных исходов.

Примеры:

Точка на отрезке
Бросаем точку на отрезок $$[0, 10]$$ .
Вероятность попасть в $$[2, 5]$$ :
$P(A) = \frac{5 - 2}{10 - 0} = 0.3$
Точка в квадрате
Кидаем точку в квадрат $10 \times 10$ .
Вероятность попасть в круг радиусом $$5$$ :
$P(A) = \frac{\pi r^2}{a^2} = \frac{\pi \cdot 25}{100} = \frac{\pi}{4} \approx 0.785$
Две точки на отрезке
Для $$|x - y| < 0.5$$ при $(x, y) \in [0,1]^2$ :

\[ P(A) = 0.75 \]

Смысл:
Геометрическая вероятность — это непрерывный аналог формулы Лапласа:

P(A) = \frac{m(A)}{m(\Omega)} \quad \text{вместо} \quad P(A) = \frac{m}{n}

Когда используется

Когда исходы образуют непрерывное множество.
В задачах с геометрией, расстояниями, координатами.
Когда событие описывается участком на отрезке, площади, объёме.
Применяется, когда каждый исход равновероятен в пространственном смысле (точка падает случайно).

Стохастический смысл вероятности

Стохастический смысл — это опытное определение вероятности.
То есть вероятность события $$A$$ понимается как предел частоты его наступления при бесконечном числе испытаний.

P(A) = \lim_{n \to \infty} \frac{m}{n}

где:

$$n$$ — общее число испытаний,
$$m$$ — сколько раз произошло событие $$A$$ .

Пример:
Подбрасываем монету $$n$$ раз.
Если герб выпал $$m$$ раз, то частота:

\nu(A) = \frac{m}{n}

и при большом $$n$$ :

\nu(A) \to P(A) = 0.5

Смысл:
Стохастическое определение связывает вероятность с опытом и статистикой.
Оно показывает, что вероятность — не абстрактная цифра, а устойчивая частота события при большом числе повторений.

Когда используется

В теоретической вероятности — для определения самого понятия вероятности.
Когда рассматривают поведение частоты в пределе при $n \to \infty$ .
Используется в обосновании закона больших чисел.
Не применяется для конкретных вычислений, а лишь как основа теории.

Статистическое определение вероятности

Вероятность события ( A ) в статистическом (частотном) смысле — это предел относительной частоты его наступления при неограниченном числе одинаковых испытаний:

P(A) = \lim_{n \to \infty} \frac{m}{n}

где

$$n$$ — общее число испытаний,
$$m$$ — число испытаний, в которых произошло событие ( A ).

Когда используется

Применяется в реальных экспериментах, когда вероятность неизвестна заранее или нельзя вычислить теоретически (в отличие от классического определения Лапласа).
Используется для оценки вероятности по наблюдениям и практическим данным: эксперименты, статистика, моделирование, социология, физика, техника.

Множество элементарных исходов может быть бесконечно или неизвестно заранее.
Вероятность оценивается на основе эмпирических данных.
Чем больше $$n$$ , тем точнее приближение $P(A) \approx m/n$ .

Примеры:

вероятность выпадения орла при броске слегка деформированной монеты;
вероятность брака при производстве деталей;
вероятность осадков по историческим данным.

Связь с законом больших чисел

Закон больших чисел утверждает, что при увеличении числа испытаний $$n$$ относительная частота события $\frac{m}{n}$ приближается к истинной вероятности $$P(A)$$ :

\lim_{n \to \infty} \frac{m}{n} = P(A)

То есть, если вероятность события заранее неизвестна,
то при достаточно большом числе наблюдений её можно оценить как:

P(A) \approx \frac{m}{n}

Случайное событие

Что такое элементарное событие

Элементарные события опыта — простейшие события, которыми может окончиться случайный опыт.

Что такое вероятность события

Вероятность события $$A$$ (обозначается $$P(A)$$ ) равна сумме вероятностей элементарных событий, благоприятствующих этому событию.

Что такое объединение событий

Объединение событий $C=A\cup B=A+B$ — событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих хотя бы одному из событий $$A$$ или $$B$$ .

Что такое пересечение событий

Пересечение событий $A\cap B$ — событие, состоящее из элементарных исходов, благоприятствующих обоим событиям $$A$$ и $$B$$ .

Что такое противоположные события

Событие $\overline{A}$ , состоящее из тех и только тех элементарных исходов опыта, которые не входят в , называется противоположным событию $$A$$ .

Что такое независимые события

События $$A$$ и $$B$$ называются независимыми, если вероятность наступления одного из них не зависит от того, произошло второе событие или нет.

P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)

Что такое несовместные события

Несовместными называются события, которые не наступают одновременно ни в одном опыте. Наступление одного исключает наступление другого.

Что такое условная вероятность

Условная вероятность $$P(B|A)$$ — это вероятность наступления события $$B$$ при условии, что событие $$A$$ наступило.

Основные формулы для решения задач на вероятность

Формула противоположного события

P(\overline{A})=1-P(A)

Формула сложения вероятностей

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)

Вероятность того, что произойдёт хотя бы одно из событий $$A$$ или $$B$$ , равна сумме их вероятностей минус вероятность их совпадения.

Формула сложения вероятностей для несовместимых событий

P(A \cup B) = P(A) + P(B)

Если события несовместимы (не могут произойти одновременно), то вероятность, что случится хотя бы одно из них, равна сумме их отдельных вероятностей.

Формула умножения вероятностей для независимых событий

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

Если события независимы, то шанс, что они произойдут вместе, равен произведению их отдельных вероятностей. Одно событие не меняет шансы другого — они как параллельные дороги.

Формула умножения вероятностей для зависимых событий

Формула умножения вероятностей для зависимых событий позволяет найти вероятность того, что оба события ( $$A$$ и $$B$$ ) произойдут.

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)

Условная вероятность

Формула условной вероятности позволяет найти вероятность события $$A$$ при условии, что событие $$B$$ уже произошло.

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

Вероятность наступления хотя бы одного из независимых событий

Если события $A_1,A_2,A_3,\dots,A_n$ — независимы, то вероятность выполнения хотя бы одного из них может быть выражена через вероятность этих событий по формуле:

P(A)=1-(1-P(A_1))\cdot(1-P(A_2))\dots(1-P(A_n))

Если события $A_1,A_2,A_3,\dots,A_n$ имеют одинаковую вероятность $$p$$ , то вероятность выполнения хотя бы одного из них:

\[ P(A)=1-(1-p)^n \]

Формула полной вероятности

Формула полной вероятности позволяет найти вероятность события $$A$$ , которое может произойти разными путями, через несколько взаимоисключающих сценариев (гипотез).

Условие применения

Когда есть несколько возможных «сценариев» $B_1,B_2,\dots,B_n$ , которые:

покрывают все возможные случаи (хотя бы один происходит наверняка),
не пересекаются (одновременно не происходят).
Тогда вероятность события $$A$$ считается как средневзвешенная вероятность $$A$$ при каждом сценарии, где веса — вероятности самих сценариев.

Формула

P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) \cdot P(A|B_i)

$B_1,B_2,\dots B_n$ — полная группа несовместных событий (гипотез).
Это значит:
- Одно и только одно из $$B_j$$ обязательно происходит.
- Они не пересекаются: $B_i\cap B_j=\varnothing$ при $i\neq j$ .
- $\sum_{i=1}^{n} P(B_i)=1$ — сумма вероятностей всех несовместных событий равна 1.
$$P(B_i)$$ — вероятность события $$B_i$$ (априорная, до того как мы узнали что-то про событие $$A$$ ).
$$P(A|B_i)$$ — условная вероятность события $$A$$ при условии, что гипотеза $$B_i$$ выполняется.
То есть если развитие идёт по сценарию $$B_i$$ , какова вероятность, что случится $$A$$ .
$P(B_i) \cdot P(A|B_i)$ — вероятность того, что гипотеза $$B_i$$ верна и событие $$A$$ произошло.
То есть вероятность $$i$$ -го “пути” к $$A$$ .
Ключевая идея

Вероятность сложного события $$A$$ находится как взвешенное среднее его условных вероятностей при всех возможных гипотезах, где весами являются вероятности самих гипотез.

Формула Байеса

P(B_i|A) = \frac{P(B_i) \cdot P(A|B_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(B_j) \cdot P(A|B_j)}

Формула Байеса — это формула для пересчёта вероятностей гипотез при наступлении нового события (данных).

Она позволяет найти вероятность того, что какая-то из возможных причин (гипотез) имела место, если произошло наблюдаемое событие.

$$P(B_i)$$ — априорная вероятность гипотезы $$B_i$$ (до того, как произошло событие $$A$$ ).
$$P(A|B_i)$$ — правдоподобие (вероятность наблюдать событие $$A$$ , если гипотеза $$B_i$$ верна).
$$P(B_i|A)$$ — апостериорная вероятность гипотезы $$B_i$$ (после того, как событие $$A$$ произошло).
Знаменатель $\sum_{j=1}^{n} P(B_j) \cdot P(A|B_j)$ — полная вероятность события A.

Ключевая идея

Мы уже знаем, как часто причина приводит к следствию, а с помощью формулы Байеса узнаём обратное: если есть следствие, то какова вероятность каждой из причин.

Формула Бернулли

P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}

$$C_n^k$$ — биномиальный коэффициент(“количество комбинаций” выбрать $$k$$ успехов из $$n$$ испытаний).
$$p^k$$ — вероятность того, что в этих $$k$$ испытаниях будет успех.
$(1-p)^{n-k}$ — вероятность того, что в остальных $$n-k$$ испытаниях будет неудача.

Ключевая идея

Формула Бернулли считает, с какой вероятностью произойдёт ровно $$k$$ успехов из $$n$$ одинаковых испытаний, если вероятность успеха в каждом испытании — $$p$$ .

Формула Пуассона (частный случай Бернулли при n → ∞)

P_m(\lambda) = \frac{\lambda^m}{m!} e^{-\lambda}

Парадоксы

1. Парадокс Монти Холла

Суть:
3 двери. За одной — приз. Игрок выбирает дверь №1. Ведущий (зная, где приз) открывает одну из двух оставшихся, за которой точно коза. Предлагает поменять выбор.

Интуитивно:
Кажется, что шансы теперь 50/50.

Реально:
Вероятность выигрыша, если остаться при выборе = 1/3
Если сменить выбор = 2/3

Решение через формулу Байеса:

P(\text{приз за другой дверью} \mid \text{ведущий открыл козу}) = \frac{P(\text{ведущий открыл козу} \mid \text{приз за другой дверью}) P(\text{приз за другой дверью})}{P(\text{ведущий открыл козу})}

После пересчёта получаем $\frac{2}{3}$ .

Что показывает:
Человеческая интуиция не учитывает условные вероятности и влияние дополнительной информации.

2. Парадокс дней рождения

Суть:
Сколько нужно людей, чтобы вероятность совпадения дней рождения ≥ 0.5?

Решение:

P(\text{все разные}) = \frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times \dots \times \frac{365 - n + 1}{365}

P(\text{совпадение}) = 1 - P(\text{все разные})

Для $$n = 23$$ → $P(\text{совпадение}) \approx 0.507$

Что показывает:
Интуиция недооценивает комбинаторный рост количества пар. Вероятности часто растут нелинейно.

3. Задача о разборчивой невесте (или секретаря)

Суть:
Из $$n$$ кандидатов нужно выбрать лучшего, но решение принимается сразу и без возврата.

Решение:
Оптимальная стратегия — пропустить первых ( n/e ) кандидатов (примерно 37%), а потом выбрать первого, кто лучше всех предыдущих.

Формула вероятности успеха:

P_{\text{опт}} = \frac{1}{e} \approx 0.37

Что показывает:
Есть чёткий оптимум между рискованным ожиданием и поспешным выбором.
Контринтуитивно, но оптимум не в «середине» и не «по ощущениям».

4. Парадокс двух конвертов

Суть:
Два конверта: в одном $$X$$ , в другом $$2X$$ . Вы открыли один, видите сумму $$A$$ . Стоит ли менять?

Ошибочная интуиция:

E(\text{второй}) = 0.5 \times 2A + 0.5 \times \frac{A}{2} = 1.25A > A

→ значит, «всегда выгодно менять».

Ошибка:
Мы неправильно считаем условное ожидание, ведь $$A$$ не фиксировано заранее.
Для корректного расчёта нужно знать распределение $$X$$ , иначе ожидание не определено.

Что показывает:
Интуиция ломается, если условная вероятность зависит от самого наблюдения.

5. Парадокс Симпсона

Суть:
В двух подгруппах лечение $$А$$ лучше, чем $$В$$ ,
но в совокупности наоборот.

Пример:

Группа	Успех A	Успех B
Мужчины	9/10	80/100
Женщины	1/10	20/100
Итого	10/20 = 0.5	100/200 = 0.5

Если доли групп неравны, итог может инвертироваться.

Формула (идея):

P(A) = \sum_i P(A \mid G_i) P(G_i)

→ среднее по весам групп.

Что показывает:
Среднее по совокупности не отражает тенденцию подгрупп.
Нужно учитывать структуру данных, а не только проценты.

6. Парадокс острова с синими глазами (логико-вероятностный)

Суть:
На острове 100 мудрецов, некоторые с синими глазами. Каждый видит остальных, но не себя.
Известно, что “хотя бы один имеет синие глаза”.
Каждый должен уйти, когда узнает свой цвет.

Ход рассуждений:

Если 1 синеглазый → он видит, что у всех глаза не синие → уходит в первую ночь.
Если 2 → каждый видит одного и ждёт, уйдёт ли он → уходит во вторую.
Если N → уходят на N-й день.

Формула индукции:

\[ T = N \]

Что показывает:
Информация работает не сама по себе, а через уровни знания (“я знаю, что он знает, что я знаю…”).

Итого

Парадокс	Основная идея	Ключевая формула	Что ломает интуицию
Монти Холл	Условные вероятности	Формула Байеса	Игнорируем влияние знаний
Дни рождения	Комбинаторика	$1 - \frac{365!}{(365-n)!365^n}$	Пары растут квадратично
Разборчивая невеста	Оптимальный стоп	$P=\frac{1}{e}$	“Ждать ещё чуть-чуть” невыгодно
Два конверта	Ожидание с условием	$$E(X)$$ зависит от распределения	Неправильное усреднение
Симпсон	Средние по подгруппам	$P(A)=\sum P(A)$	$P(A)=\sum P(A\\|G_i)P(G_i)$ Игнорируем вес категорий
Синие глаза	Мета-информация	Логическая индукция	Кто и что знает о знании

Закон распределения

Показывает, какие значения случайная величина может принимать и с какой вероятностью.

Для дискретной: перечисляем все возможные $$x_i$$ и вероятности $$p_i$$ .
Для непрерывной: задаётся функцией плотности $$f(x)$$ .

Формула (дискретная)

P(X=x_i)=p_i,\quad \sum_ip_i=1

Пример

Бросаем кубик.

P(X=k)=\frac{1}{6},\quad k=1,2,3,4,5,6

Математическое ожидание

Математическое ожидание $$M[X]$$ — это теоретическое среднее значение случайной величины, центр её распределения.
Это не то, что “выпадет всегда”, а то, к которому стремится среднее значение при большом количестве испытаний.

Для дискретной случайной величины

M[X] = \sum_i x_i p_i

Для непрерывной случайной величины

M[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x)\,dx

где $$f(x)$$ — функция плотности вероятности.

Пример (игральная кость)

M[X] = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3.5

То есть при очень большом числе бросков среднее будет стремиться к $$3.5$$ .

Пример (Лотерея)

Билет стоит 100 руб., выигрыш 1000 руб. с вероятностью 0.05

\[ M[X]=1000\cdot0.05-100=-50руб. \]

Закон больших чисел

Закон больших чисел (ЗБЧ) — фундаментальный принцип теории вероятностей, утверждающий, что при увеличении числа независимых испытаний среднее арифметическое результатов стремится к математическому ожиданию.

\frac{X_1 + X_2 + \dots + X_n}{n} \to M[X], \quad n \to \infty

где:

$$X_1,X_2,...,X_n$$ — независимые случайные величины;
$$M[X]$$ — математическое ожидание;
$$n$$ — количество испытаний.

Это значит: чем больше наблюдений, тем ближе выборочное среднее к математическому ожиданию.

Другими словами, чем больше объём выборки, чем чаще проводятся измерения какого-либо параметра, тем выше вероятность того, что результаты окажутся близкими к ожидаемым.

Основные положения

Принцип усреднения: чем больше объём выборки, тем ближе выборочное среднее к математическому ожиданию.
Стабилизирующий эффект: случайные отклонения постепенно компенсируют друг друга при увеличении количества наблюдений.
Предсказуемость: случайные события становятся более предсказуемыми при большом количестве испытаний.

Практические примеры

Подбрасывание монеты: при 1000 бросках доля орлов будет близка к 50%.
Игральная кость: среднее значение большого количества бросков стремится к 3,5.
Производственный контроль: при увеличении выборки доля дефектных изделий приближается к истинной вероятности брака.

Важные уточнения

Закон не гарантирует конкретный результат в отдельном испытании.
Работает только при независимости наблюдений.
Требует конечности дисперсии случайных величин.
Дисперсия

Дисперсия $$D[X]$$ показывает, насколько сильно значения разбросаны вокруг математического ожидания.

Формулы

D[X] = M\big[(X - M[X])^2\big]

\[ D[X] = M[X^2] - (M[X])^2 \]

###Пример (кубик)

M[X^2] = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} = \frac{91}{6}

D[X] = \frac{91}{6} - (3.5)^2 = \frac{35}{12} \approx 2.92

Стандартное отклонение (σ)

Стандартное отклонение — это средний разброс значений от среднего, измеряется в тех же единицах, что и сама величина.

\sigma = \sqrt{D[X]}

Пример (кубик)

\sigma = \sqrt{\frac{35}{12}} \approx 1.71

Нормальное распределение (Гаусс)

Нормальное распределение — это распределение-колокол: большинство значений около среднего, а чем дальше от него, тем реже встречаются.

f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \, e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}}

где:

$\mu$ — математическое ожидание (среднее),
$\sigma$ — стандартное отклонение.

Пример

Рост мужчин может распределяться как $$N(175, 10^2)$$ : средний 175 см, стандартное отклонение 10 см.