09. Тригонометрия и проекции
Тригонометрия и проекции
Уровень: с нуля
Прямоугольный треугольник
Для угла \(\alpha\):
\[
\sin\alpha=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}},
\]
\[
\cos\alpha=\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}},
\]
\[
\tan\alpha=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}.
\]
Основное тождество
\[
\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.
\]
Часто используемые значения
| \(\alpha\) | \(\sin\alpha\) | \(\cos\alpha\) |
|---|---|---|
| \(0^\circ\) | \(0\) | \(1\) |
| \(30^\circ\) | \(1/2\) | \(\sqrt3/2\) |
| \(45^\circ\) | \(\sqrt2/2\) | \(\sqrt2/2\) |
| \(60^\circ\) | \(\sqrt3/2\) | \(1/2\) |
| \(90^\circ\) | \(1\) | \(0\) |
Проекции вектора
Если вектор \(\vec A\) образует угол \(\alpha\) с осью \(x\):
\[
A_x=A\cos\alpha,
\]
\[
A_y=A\sin\alpha.
\]
Запоминать «косинус всегда по горизонтали» нельзя. Косинус относится к оси, от которой отсчитан угол.
Наклонная плоскость
Вес \(mg\) удобно раскладывать по осям вдоль и перпендикулярно плоскости:
\[
F_{\parallel}=mg\sin\alpha,
\]
\[
F_{\perp}=mg\cos\alpha.
\]
Почему так: угол между вертикалью и нормалью к плоскости равен углу наклона \(\alpha\).
Радианы
Радианная мера:
\[
\varphi=\frac{s}{R}.
\]
Полный оборот:
\[
2\pi\ \text{рад}=360^\circ.
\]
\[
1\ \text{рад}\approx57{,}3^\circ.
\]
Производные тригонометрических функций имеют стандартный вид только для радиан.
Малые углы
При \(|\alpha|\ll1\) рад:
\[
\sin\alpha\approx\alpha,
\]
\[
\tan\alpha\approx\alpha,
\]
\[
\cos\alpha\approx1-\frac{\alpha^2}{2}.
\]
Это используется для математического маятника, малых колебаний и параксиальной оптики.
Пример
Сила \(F=10\) Н направлена под \(30^\circ\) к горизонту:
\[
F_x=10\cos30^\circ\approx8{,}66\ \text{Н},
\]
\[
F_y=10\sin30^\circ=5\ \text{Н}.
\]
Типичные ошибки
- Подставлять градусы в формулы малых углов как обычное число.
- Менять местами синус и косинус без рисунка.
- Забывать знаки проекций.
- Считать \(\sin\alpha\approx\alpha\) при больших углах.
Самопроверка
- Перевести \(180^\circ\) в радианы.
- Найти проекции вектора \(20\) Н под \(60^\circ\) к оси \(x\).
- Можно ли считать \(\sin30^\circ\approx30\)?