Равносильные преобразования уравнений
Два уравнения \(f_1(x)=g_1(x)\) и \(f_2(x)=g_2(x)\) называются равносильными, если множество корней первого уравнения совпадает с множеством корней второго уравнения.
Сужать область допустимых значений в ходе решения нельзя!
Виды преобразований
Равносильные преобразования — множества решений совпадают.
Следствия — не теряют множества решений исходной задачи, но могут появиться лишние корни.
| Тип преобразования | Результат | Пример | Примечание |
|---|---|---|---|
| Равносильное | Корни совпадают точно | \(x+2=5 \implies x=3\) | Можно менять стороны, добавлять/вычитать одно и то же, умножать на ненулевое, делить на ненулевое, подставлять равные величины |
| Следствие | Все корни исходного входят, но могут быть лишние | \(\sqrt{x}=x-2 \implies x=(x-2)^2\) | Возведение в квадрат, умножение на переменную, логарифмы — проверка исходного уравнения обязательна |
| Равносильное с условием | Корни совпадают только при выполнении условия | \(\frac{x-1}{x+2}=0 \implies x-1=0, x\neq -2\) | Проверяешь ограничение, иначе добавишь мусорный корень |
| Приближённое | Корни примерно совпадают | Численные методы, итерации | Может не дать точного значения, проверка нужна, если нужна точность |
Теорема
Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то полученное уравнение будет равносильно исходному.
Теорема
Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то полученное уравнение будет равносильно исходному.
Теорема
Показательное уравнение \(a^{f(x)}=a^{g(x)}=\), где \(a\gt 0, a\neq 1\), равносильно уравнению \(f(x)=g(x)\).
Теорема
Если обе части уравнения \(f(x)=g(x)\) умножить на одно и то же выражение \(h(x)\), которое:
- определено для каждого значения переменной из ОДЗ уравнения \(f(x)=g(x)\);
- ни для какого значения переменной из ОДЗ уравнения \(f(x)=g(x)\) не обращается в,
то полученное уравнение \(f(x)h(x)=g(x)h(h)\) будет равносильно исходному.
Теорема
Если обе части уравнения \(f(x)=g(x)\); неотрицательны в области определения уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную cтепень \(2k\) полученное уравнение \((f(x))^{2k}=(g(x))^{2k}\) будет равносильно исходному.
Теорема
Иррациональное уравнение \(\sqrt{f(x)}=g(x)\) равносильно одновременному выполнению системы двух следующих условий: \(f(x)=g^2(x)\) и \(g(x)\ge 0\).
Теорема
Если \(a\lt 0, a\neq 1\), то логарифмическое уравнение \(\log_a{f(x)}=log_a{g(x)}\) равносильно одновременному выполнению системы двух следующих условий: \(f(x)=g(x)\) и \(f(x)\gt 0\).