Шпаргалки / Физика / Механика

Вращательное движение

Уровень: База → вуз

Вращательная механика повторяет поступательную: угол соответствует координате, момент силы — силе, момент инерции — массе.

Что надо понять

  • Все точки твёрдого тела имеют одинаковые угловые величины, но разные линейные скорости.
  • Момент инерции зависит от распределения массы.
  • Момент силы меняет угловой момент.
  • При отсутствии внешнего момента угловой момент сохраняется.

Основные формулы

1. Угловые величины

\[ \omega=\frac{d\varphi}{dt},\qquad \alpha=\frac{d\omega}{dt} \]

При постоянном \(\alpha\) действуют аналоги кинематических формул.

2. Линейная связь

\[ v=\omega r,\qquad a_\tau=\alpha r,\qquad a_n=\omega^2r \]

Линейные величины зависят от расстояния до оси.

3. Момент силы

\[ \tau=rF\sin\theta \]

Используется перпендикулярное плечо.

4. Уравнение вращения

\[ \sum\tau=I\alpha \]

Момент инерции играет роль массы.

5. Энергия и момент

\[ E_{\text{вр}}=\frac{I\omega^2}{2},\qquad \vec L=I\vec\omega \]

Для твёрдого тела вокруг фиксированной оси.

Разобранные задачи

Задача 1. Разгон диска

Условие. Диск с \(I=0{,}5\) кг·м² разгоняет момент \(2\) Н·м.

Решение.

\[ \alpha=\frac{\tau}{I}=\frac{2}{0{,}5}=4\,\text{рад/с}^2. \]

Ответ: \(4\) рад/с².

Задача 2. Край колеса

Условие. Колесо радиуса \(0{,}4\) м вращается с частотой \(2\) об/с.

Решение.

\[ \omega=2\pi f=4\pi\,\text{рад/с}, \]
\[ v=\omega R\approx5{,}0\,\text{м/с}. \]

Ответ: \(5{,}0\) м/с.

Задача 3. Фигурист

Условие. Момент инерции уменьшился вдвое, внешнего момента нет.

Решение.

\[ I_1\omega_1=I_2\omega_2. \]

При \(I_2=I_1/2\) получаем

\[ \omega_2=2\omega_1. \]

Ответ: угловая скорость выросла вдвое.

Алгоритм решения

  1. Выбрать ось.
  2. Выписать моменты со знаками.
  3. Найти момент инерции.
  4. Применить уравнение вращения или сохранение момента.
  5. Связать угловые и линейные величины.

Частые ошибки

  • Использовать расстояние вместо плеча.
  • Считать момент инерции свойством только массы.
  • Путать обороты в секунду и рад/с.
  • Сохранять угловую скорость вместо углового момента.

Задачи для самопроверки

  1. Найти \(\omega\) при \(f=5\) Гц.
Ответ\(10\pi\) рад/с.
  1. Момент \(6\) Н·м, \(I=3\) кг·м². Найти \(\alpha\).
Ответ\(2\) рад/с².
  1. При увеличении \(I\) втрое без внешнего момента что с \(\omega\)?
ОтветУменьшится втрое.

Связи с другими темами

Краткий итог

Вращательная механика повторяет поступательную: угол соответствует координате, момент силы — силе, момент инерции — массе.