Шпаргалки / Математика / Школа / Матанализ / Дифференциальное исчисление

Дифференциальное приближение

Дифференциальное приближение — это способ оценить, как маленькое изменение x влияет на изменение функции y = f(x).

Если у нас есть функция $y = f(x)$ и мы немного изменим $x$ на $\Delta x$, то изменение $y$ можно приблизительно найти так:

\[ \Delta y \approx f'(x) \cdot \Delta x \]

Где:

  • $f’(x)$ — производная функции в точке $x$,
  • $\Delta x$ — маленькое изменение аргумента,
  • $\Delta y$ — изменение функции (приближённо).

Иными словами, производная показывает, на сколько примерно изменится функция, если чуть сдвинуть $x$.

2. Основная формула

\[ y + \Delta y \approx f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x)\cdot \Delta x \]
  • Это и есть дифференциальное приближение функции.
  • Оно точное, если $\Delta x \to 0$.
  • На практике оно очень полезно для малых изменений, когда считать точное значение сложно.

3. Геометрический смысл

Представь график функции.

  • В точке $x$ строим касательную.
  • Дифференциальное приближение смотрит на касательную, а не на кривую.
  • Если $\Delta x$ маленькое, касательная почти совпадает с кривой → погрешность маленькая.

4. Пример 1: линейная функция

\[ y = 2x + 3 \]
  • Производная: $f’(x) = 2$
  • Пусть $x = 1$, и $\Delta x = 0.1$
  • Тогда:
\[ \Delta y \approx f'(1) \cdot \Delta x = 2 \cdot 0.1 = 0.2 \]
  • Т.е. при $x = 1$ функция увеличится на 0.2, если сдвинуть $x$ на 0.1.
  • Проверим точно: $f(1.1) = 2.2 + 3 = 5.2$, $f(1) = 5$ → разница = 0.2

Вывод: для линейной функции дифференциальное приближение точно, потому что производная постоянная.

5. Пример 2: нелинейная функция

\[ y = x^2 \]
  • Производная: $f’(x) = 2x$
  • Пусть $x = 3$, $\Delta x = 0.1$
  • Дифференциальное приближение:
\[ \Delta y \approx 2 \cdot 3 \cdot 0.1 = 0.6 \]
  • Проверим точно:
\[ f(3.1) - f(3) = 3.1^2 - 9 = 9.61 - 9 = 0.61 \]
  • Ошибка: 0.01 (очень мала)

Вывод: для малых $\Delta x$ приближение почти точное, даже если функция криволинейная.

6. Дифференциал функции

Вместо $\Delta y$ часто пишут дифференциал $dy$:

\[ dy = f'(x) \, dx \]
  • $dx$ — «маленькое изменение $x$»,
  • $dy$ — «соответствующее изменение $y$» (приблизительное).

Пример: $y = x^3$, $x=2$, $dx=0.05$

\[ dy = 3 \cdot 2^2 \cdot 0.05 = 0.6 \]

7. Дифференциальное приближение сложной функции

Если $y = f(g(x))$, используется цепное правило:

\[ dy = f'(g(x)) \cdot g'(x) \, dx \]

Пример: $y = \sin(x^2)$, $x=1$, $dx=0.01$

  1. $f(u) = \sin u$, $u = x^2$
  2. $f’(u) = \cos u$, $u’ = 2x$
  3. Дифференциал:
\[ dy = \cos(x^2) \cdot 2x \, dx \]
\[ dy \approx \cos(1^2) \cdot 2 \cdot 1 \cdot 0.01 \approx 0.0108 \]

8. Применение

  • Быстро оценить маленькие изменения функции.
  • Ошибка измерений.
  • Физика: скорость, ускорение, погрешности.
  • Экономика, инженерия, химия — везде, где есть «малые изменения».

9. Сводная таблица

Понятие Формула Пример
Дифференциальное приближение $\Delta y \approx f’(x) \Delta x$ $y = x^2$, $x=3$, $\Delta x=0.1$, $\Delta y \approx 0.6$
Дифференциал $dy = f’(x) dx$ $y = x^3$, $x=2$, $dx=0.05$, $dy=0.6$
Сложная функция $dy = f’(g(x)) g’(x) dx$ $y=\sin(x^2)$, $x=1$, $dx=0.01$, $dy\approx 0.0108$

10. Лайфхак

  1. Найди производную $f’(x)$
  2. Определи маленькое изменение $dx$
  3. Умножь $f’(x) \cdot dx$ → получишь приблизительное $\Delta y$
  4. Проверка: точное значение $f(x+dx)-f(x)$

Если $\Delta x$ маленькое, приближение почти всегда сойдётся.