Шпаргалки / Математика / Школа / Матанализ / Дифференциальное исчисление

Дифференциальное приближение

1. Что такое дифференциальное приближение?

Дифференциальное приближение — это способ оценить, как маленькое изменение x влияет на изменение функции y = f(x).

Если у нас есть функция \(y = f(x)\) и мы немного изменим \(x\) на \(\Delta x\), то изменение \(y\) можно приблизительно найти так:

\[ \Delta y \approx f'(x) \cdot \Delta x \]

Где:

  • \(f'(x)\) — производная функции в точке \(x\),
  • \(\Delta x\) — маленькое изменение аргумента,
  • \(\Delta y\) — изменение функции (приближённо).

Иными словами, производная показывает, на сколько примерно изменится функция, если чуть сдвинуть \(x\).

2. Основная формула

\[ y + \Delta y \approx f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x)\cdot \Delta x \]
  • Это и есть дифференциальное приближение функции.
  • Оно точное, если \(\Delta x \to 0\).
  • На практике оно очень полезно для малых изменений, когда считать точное значение сложно.

3. Геометрический смысл

Представь график функции.

  • В точке \(x\) строим касательную.
  • Дифференциальное приближение смотрит на касательную, а не на кривую.
  • Если \(\Delta x\) маленькое, касательная почти совпадает с кривой → погрешность маленькая.

4. Пример 1: линейная функция

\[ y = 2x + 3 \]
  • Производная: \(f'(x) = 2\)
  • Пусть \(x = 1\), и \(\Delta x = 0.1\)
  • Тогда:
\[ \Delta y \approx f'(1) \cdot \Delta x = 2 \cdot 0.1 = 0.2 \]
  • Т.е. при \(x = 1\) функция увеличится на 0.2, если сдвинуть \(x\) на 0.1.
  • Проверим точно: \(f(1.1) = 2.2 + 3 = 5.2\), \(f(1) = 5\) → разница = 0.2

Вывод: для линейной функции дифференциальное приближение точно, потому что производная постоянная.

5. Пример 2: нелинейная функция

\[ y = x^2 \]
  • Производная: \(f'(x) = 2x\)
  • Пусть \(x = 3\), \(\Delta x = 0.1\)
  • Дифференциальное приближение:
\[ \Delta y \approx 2 \cdot 3 \cdot 0.1 = 0.6 \]
  • Проверим точно:
\[ f(3.1) - f(3) = 3.1^2 - 9 = 9.61 - 9 = 0.61 \]
  • Ошибка: 0.01 (очень мала)

Вывод: для малых \(\Delta x\) приближение почти точное, даже если функция криволинейная.

6. Дифференциал функции

Вместо \(\Delta y\) часто пишут дифференциал \(dy\):

\[ dy = f'(x) \, dx \]
  • \(dx\) — «маленькое изменение \(x\)»,
  • \(dy\) — «соответствующее изменение \(y\)» (приблизительное).

Пример: \(y = x^3\), \(x=2\), \(dx=0.05\)

\[ dy = 3 \cdot 2^2 \cdot 0.05 = 0.6 \]

7. Дифференциальное приближение сложной функции

Если \(y = f(g(x))\), используется цепное правило:

\[ dy = f'(g(x)) \cdot g'(x) \, dx \]

Пример: \(y = \sin(x^2)\), \(x=1\), \(dx=0.01\)

  1. \(f(u) = \sin u\), \(u = x^2\)
  2. \(f'(u) = \cos u\), \(u' = 2x\)
  3. Дифференциал:
\[ dy = \cos(x^2) \cdot 2x \, dx \]
\[ dy \approx \cos(1^2) \cdot 2 \cdot 1 \cdot 0.01 \approx 0.0108 \]

8. Применение

  • Быстро оценить маленькие изменения функции.
  • Ошибка измерений.
  • Физика: скорость, ускорение, погрешности.
  • Экономика, инженерия, химия — везде, где есть «малые изменения».

9. Сводная таблица

Понятие Формула Пример
Дифференциальное приближение \(\Delta y \approx f'(x) \Delta x\) \(y = x^2\), \(x=3\), \(\Delta x=0.1\), \(\Delta y \approx 0.6\)
Дифференциал \(dy = f'(x) dx\) \(y = x^3\), \(x=2\), \(dx=0.05\), \(dy=0.6\)
Сложная функция \(dy = f'(g(x)) g'(x) dx\) \(y=\sin(x^2)\), \(x=1\), \(dx=0.01\), \(dy\approx 0.0108\)

10. Лайфхак

  1. Найди производную \(f'(x)\)
  2. Определи маленькое изменение \(dx\)
  3. Умножь \(f'(x) \cdot dx\) → получишь приблизительное \(\Delta y\)
  4. Проверка: точное значение \(f(x+dx)-f(x)\)

Если \(\Delta x\) маленькое, приближение почти всегда сойдётся.