Шпаргалки / Математика / Школа / Теория вероятностей и мат.статистика

Меры центральной тенденции

Меры центральной тенденции показывают, около какого значения сосредоточены данные, то есть «типичное» или «среднее» значение выборки.

1. Среднее арифметическое (Mean)

Определение: сумма всех значений выборки, делённая на количество наблюдений.

Формула:

\[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]
  • \(x_i\) — значения выборки
  • \(n\) — количество наблюдений

Применение:
Отражает «среднее» значение данных. Подходит, когда нет сильных выбросов.

Пример:

Выборка: \([2, 4, 6]\)

\[ \bar{x} = \frac{2 + 4 + 6}{3} = 4 \]

2. Медиана (Median)

Определение: срединное значение упорядоченной выборки.

Формула:

  • Если \(n\) нечётное: медиана — центральное значение
  • Если \(n\) чётное: медиана — среднее двух средних значений

Применение:
Хорошо показывает «типичное» значение при наличии выбросов или неравномерного распределения данных.

Пример:

Выборка: \([1, 2, 3, 10, 20]\)
Медиана = \(3\) (третье значение в упорядоченном ряду)

3. Мода (Mode)

Определение: значение, которое встречается чаще всего в выборке.

Формула:
Определяется по частоте встречаемости, формулы нет.

Применение:
Отражает «самое распространённое» значение. Особенно полезно для категориальных данных.

Пример:

Выборка: \([2, 2, 3, 4, 4, 4, 5]\)
Мода = \(4\)

4. Среднее гармоническое (Harmonic Mean)

Определение: среднее, обратное среднему обратных значений. Используется, когда данные выражают скорости, коэффициенты или отношения.

Формула:

\[ H = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}} \]

Применение:
Используется, например, для расчёта средней скорости движения при разных расстояниях и скоростях.

Пример:

Выборка: \([2, 4]\)

\[ H = \frac{2}{\frac{1}{2} + \frac{1}{4}} = \frac{2}{0.75} \approx 2.67 \]

5. Среднее геометрическое (Geometric Mean)

Определение: \(n\)-ый корень из произведения всех значений выборки. Используется, когда данные выражают рост или процентные изменения.

Формула:

\[ G = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} x_i} \]

Применение:
Полезно для анализа темпов роста, индексов, доходностей.

Пример:

Выборка: \([2, 8]\)

\[ G = \sqrt{2 \cdot 8} = \sqrt{16} = 4 \]

Итоговая таблица мер центральной тенденции

Мера Формула/определение Для чего применяется Пример
Среднее арифметическое \(\bar{x} = \frac{1}{n} \sum x_i\) Типичное значение, когда нет выбросов 4
Медиана центральное значение Типичное значение при выбросах 3
Мода наиболее часто встречающееся Самое распространённое значение, категориальные данные 4
Среднее гармоническое \(H = n / \sum (1/x_i)\) Среднее для скоростей, коэффициентов 2.67
Среднее геометрическое \(G = \sqrt[n]{\prod x_i}\) Среднее для роста, доходностей 4