Шпаргалки / Математика / Школа / Матанализ / Интегральное исчисление

Интеграл и его свойства

Интеграл

Интеграл — это способ суммировать бесконечно малые кусочки чего-либо.
Он появляется, когда нужно посчитать:

площадь под кривой,
путь по известной скорости,
массу распределённого тела,
накопленную энергию или работу силы.

Если производная показывает скорость изменения функции, то интеграл делает обратное — восстанавливает величину по скорости изменения.
Формально интеграл — это предел суммы Римана:

\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x

где $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ — маленький кусочек интервала, а $$x_i$$ — точка в i-м кусочке.

Нотация интеграла

Символ $$dx$$ в интеграле $\int f(x)\,dx$ показывает по какой переменной идёт интегрирование;
В неопределённом интеграле $\int f(x)\,dx$ $$dx$$ — это метка переменной интегрирования; реально в вычислении подынтегрального выражения не участвует.
В определённом интеграле $\int_a^b f(x)\,dx$ $$dx$$ участвует как «ширина» маленького отрезка в сумме Римана.
Иногда допускается «дробная» логика:
$\int \frac{dy}{dx}\,dx = y + C$ , потому что отражает обратимость операций дифференцирования и интегрирования.

Для нескольких переменных

Вид интеграла	Что значит	Геометрический смысл
$\int f(x)\,dx$	по одной переменной	линия (отрезок)
$\iint f(x,y)\,dx\,dy$	по двум переменным	площадь $dx\,dy$
$\iiint f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz$	по трём переменным	объём $dx\,dy\,dz$

Важно:

dx\,dy \neq d(xy), \quad \text{так как } d(xy) = x\,dy + y\,dx

Физический и геометрический смысл интеграла

Геометрический смысл:
Определённый интеграл $\int_a^b f(x)\,dx$ — это площадь под графиком функции $y=f(x)$ между $x=a$ и $x=b$.
- $$f(x) > 0$$ → площадь положительная
- $$f(x) < 0$$ → площадь отрицательная
Физический смысл:
- Путь при скорости $$v(t)$$ : $S = \int_a^b v(t)\,dt$
- Работа силы $$F(x)$$ вдоль пути: $A = \int_a^b F(x)\,dx$
- Масса распределённого тела с плотностью $\rho(x)$ : $m = \int_a^b \rho(x)\,dx$
- Накопленная энергия при мощности $$P(t)$$ : $E = \int_a^b P(t)\,dt$

Первообразная

Функция $$F(x)$$ называется первообразной для $$f(x)$$ , если:

\[ F'(x) = f(x) \]

Тогда неопределённый интеграл записывается:

\int f(x)\,dx = F(x) + C

где $$C$$ — произвольная константа (потому что производная константы равна нулю).

Пример:

\int 2x\,dx = x^2 + C

Связь с производной

Интеграл и производная — обратные операции:

Если $$F'(x) = f(x)$$ , то $\int f(x)\,dx = F(x) + C$
Если $$f(x)$$ известна, можно восстановить функцию через интеграл.

Для определённого интеграла формула Ньютона–Лейбница:

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)

Определённый интеграл

Сумма бесконечно малых приращений функции на интервале $$[a,b]$$ .
Обозначается как $\int_a^b f(x)\,dx$ .
Геометрически — площадь под графиком.
Физически — путь, работа, масса, энергия.

Свойства определённого интеграла

Обратный порядок: $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$
Аддитивность по промежутку: $\int_a^c f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx$
Неотрицательность: $f(x)\ge 0 \implies \int_a^b f(x)\,dx \ge 0$
Монотонность: $f(x)\le g(x) \implies \int_a^b f(x)\,dx \le \int_a^b g(x)\,dx$
Среднее значение: $f_\text{ср} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$

Несобственные интегралы

Используются, когда:

Границы бесконечны ( $\int_a^\infty f(x)\,dx$ )
Функция имеет разрывы внутри интервала

Считаем как предел:

\int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx

Если предел конечный → интеграл сходится, если бесконечный → расходится.

Методы интегрирования

Замена переменной:
Для сложной функции внутри интеграла.

\int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du

Интегрирование по частям:

\int u\,dv = uv - \int v\,du

Частичные дроби:
Для рациональных функций $$P(x)/Q(x)$$ раскладываем на простые дроби.
Тригонометрические подстановки:
Для выражений с $\sqrt{a^2-x^2}$ , $\sqrt{a^2+x^2}$ , $\sqrt{x^2-a^2}$ .

Кратные интегралы

Двойной интеграл

\iint\limits_D f(x,y)\,dx\,dy

Геометрически — объём под поверхностью $$z=f(x,y)$$ над областью $$D$$ .

Тройной интеграл

\iiint\limits_V f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz

Масса, объём или энергия в трёхмерной области $$V$$ .

Криволинейные и поверхностные интегралы

Криволинейный интеграл

\int_L f(x,y)\,ds \quad\text{или}\quad \int_L P\,dx + Q\,dy

Длина кривой, работа вдоль траектории, поток векторного поля.

Поверхностный интеграл

\iint_S f(x,y,z)\,dS \quad\text{или}\quad \iint_S \vec{F}\cdot \vec{n}\,dS

Поток через поверхность.

Прикладные применения интеграла

Площадь между графиками: $S = \int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx$
Объём тела вращения: $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\,dx$
Длина дуги: $L = \int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx$
Центр масс стержня: $x_c = \frac{\int_a^b x\rho(x)\,dx}{\int_a^b \rho(x)\,dx}$
Путь по скорости: $S = \int_a^b v(t)\,dt$
Работа силы: $A = \int_a^b F(x)\,dx$
Масса распределённого тела: $m = \int_a^b \rho(x)\,dx$
Энергия: $E = \int_a^b P(t)\,dt$