Шпаргалки / Математика / Школа / Матанализ / Интегральное исчисление

Интеграл и его свойства

Интеграл — это способ суммировать бесконечно малые кусочки чего-либо.
Он появляется, когда нужно посчитать:

  • площадь под кривой,
  • путь по известной скорости,
  • массу распределённого тела,
  • накопленную энергию или работу силы.

Если производная показывает скорость изменения функции, то интеграл делает обратное — восстанавливает величину по скорости изменения.
Формально интеграл — это предел суммы Римана:

\[ \int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x \]

где $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ — маленький кусочек интервала, а $x_i$ — точка в i-м кусочке.

Нотация интеграла

  • Символ $dx$ в интеграле $\int f(x)\,dx$ показывает по какой переменной идёт интегрирование;
  • В неопределённом интеграле $\int f(x)\,dx$ $dx$ — это метка переменной интегрирования; реально в вычислении подынтегрального выражения не участвует.
  • В определённом интеграле $\int_a^b f(x)\,dx$ $dx$ участвует как «ширина» маленького отрезка в сумме Римана.
  • Иногда допускается «дробная» логика:
    $\int \frac{dy}{dx}\,dx = y + C$, потому что отражает обратимость операций дифференцирования и интегрирования.

Для нескольких переменных

Вид интеграла Что значит Геометрический смысл
$\int f(x)\,dx$ по одной переменной линия (отрезок)
$\iint f(x,y)\,dx\,dy$ по двум переменным площадь $dx\,dy$
$\iiint f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz$ по трём переменным объём $dx\,dy\,dz$

Важно:

\[ dx\,dy \neq d(xy), \quad \text{так как } d(xy) = x\,dy + y\,dx \]

Физический и геометрический смысл интеграла

  • Геометрический смысл:
    Определённый интеграл $\int_a^b f(x)\,dx$ — это площадь под графиком функции $y=f(x)$ между $x=a$ и $x=b$.
    • $f(x) > 0$ → площадь положительная
    • $f(x) < 0$ → площадь отрицательная
  • Физический смысл:
    • Путь при скорости $v(t)$: $S = \int_a^b v(t)\,dt$
    • Работа силы $F(x)$ вдоль пути: $A = \int_a^b F(x)\,dx$
    • Масса распределённого тела с плотностью $\rho(x)$: $m = \int_a^b \rho(x)\,dx$
    • Накопленная энергия при мощности $P(t)$: $E = \int_a^b P(t)\,dt$

Первообразная

Функция $F(x)$ называется первообразной для $f(x)$, если:

\[ F'(x) = f(x) \]

Тогда неопределённый интеграл записывается:

\[ \int f(x)\,dx = F(x) + C \]

где $C$ — произвольная константа (потому что производная константы равна нулю).

Пример:

\[ \int 2x\,dx = x^2 + C \]

Связь с производной

Интеграл и производная — обратные операции:

  • Если $F’(x) = f(x)$, то $\int f(x)\,dx = F(x) + C$
  • Если $f(x)$ известна, можно восстановить функцию через интеграл.

Для определённого интеграла формула Ньютона–Лейбница:

\[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \]

Определённый интеграл

  • Сумма бесконечно малых приращений функции на интервале $[a,b]$.
  • Обозначается как $\int_a^b f(x)\,dx$.
  • Геометрически — площадь под графиком.
  • Физически — путь, работа, масса, энергия.

Свойства определённого интеграла

  1. Обратный порядок: $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$
  2. Аддитивность по промежутку: $\int_a^c f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx$
  3. Неотрицательность: $f(x)\ge 0 \implies \int_a^b f(x)\,dx \ge 0$
  4. Монотонность: $f(x)\le g(x) \implies \int_a^b f(x)\,dx \le \int_a^b g(x)\,dx$
  5. Среднее значение: $f_\text{ср} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$

Несобственные интегралы

Используются, когда:

  • Границы бесконечны ($\int_a^\infty f(x)\,dx$)
  • Функция имеет разрывы внутри интервала

Считаем как предел:

\[ \int_a^\infty f(x)\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx \]

Если предел конечный → интеграл сходится, если бесконечный → расходится.

Методы интегрирования

  1. Замена переменной:
    Для сложной функции внутри интеграла.
\[ \int f(g(x))g'(x)\,dx = \int f(u)\,du \]
  1. Интегрирование по частям:
\[ \int u\,dv = uv - \int v\,du \]

  1. Частичные дроби:
    Для рациональных функций $P(x)/Q(x)$ раскладываем на простые дроби.

  2. Тригонометрические подстановки:
    Для выражений с $\sqrt{a^2-x^2}$, $\sqrt{a^2+x^2}$, $\sqrt{x^2-a^2}$.

Кратные интегралы

Двойной интеграл

\[ \iint\limits_D f(x,y)\,dx\,dy \]
  • Геометрически — объём под поверхностью $z=f(x,y)$ над областью $D$.

Тройной интеграл

\[ \iiint\limits_V f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz \]
  • Масса, объём или энергия в трёхмерной области $V$.

Криволинейные и поверхностные интегралы

Криволинейный интеграл

\[ \int_L f(x,y)\,ds \quad\text{или}\quad \int_L P\,dx + Q\,dy \]
  • Длина кривой, работа вдоль траектории, поток векторного поля.

Поверхностный интеграл

\[ \iint_S f(x,y,z)\,dS \quad\text{или}\quad \iint_S \vec{F}\cdot \vec{n}\,dS \]
  • Поток через поверхность.

Прикладные применения интеграла

  • Площадь между графиками: $S = \int_a^b f(x)-g(x) \,dx$
  • Объём тела вращения: $V = \pi \int_a^b [f(x)]^2\,dx$
  • Длина дуги: $L = \int_a^b \sqrt{1+(f’(x))^2}\,dx$
  • Центр масс стержня: $x_c = \frac{\int_a^b x\rho(x)\,dx}{\int_a^b \rho(x)\,dx}$
  • Путь по скорости: $S = \int_a^b v(t)\,dt$
  • Работа силы: $A = \int_a^b F(x)\,dx$
  • Масса распределённого тела: $m = \int_a^b \rho(x)\,dx$
  • Энергия: $E = \int_a^b P(t)\,dt$