Шпаргалки / Математика / Школа / Матанализ / Дифференциальное исчисление

Производная и её свойства

Определение производной

Производная функции в точке — это скорость изменения функции, предел отношения приращения функции к приращению аргумента.

\[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]

Геометрический смысл производной

  • \(f'(x)\) — это угловой коэффициент касательной к графику функции в точке \(x\).
  • \(f'(x) > 0\) → функция возрастает,
  • \(f'(x) < 0\) → функция убывает,
  • \(f'(x) = 0\) → горизонтальная касательная (возможный экстремум или седло).

Нотация производной и дифференциала

Производную можно записывать в четырёх основных стилях — Ньютона, Лагранжа, Эйлера и Лейбница.
Разные нотации используются в зависимости от области применения.

Вид записи Автор Где применяется Примечание
\(\dot{y}\),
\(\ddot{y}\)		 Ньютон (XVII в.) Физика, механика, дифф. уравнения по времени Используется, когда аргумент — время \(t\). Пример: \(\dot{x} = v, \ \ddot{x} = a\).
\(f'(x)\), \(f''(x)\) Лагранж (XVIII в.) Математика, анализ, вычисления Удобна, когда переменная одна и функция явно задана.
\(D_x f(x)\), \(D^2_x f(x)\) Эйлер (XVIII в.) Теоретическая математика, операторный анализ Акцент на действии оператора дифференцирования \(D_x = \frac{d}{dx}\).
\(\dfrac{dy}{dx}\), \(\dfrac{d^2y}{dx^2}\) Лейбниц (XVII в.) Классический анализ, физика, инженерка Показывает зависимость \(y\) от \(x\); удобна при подстановках, неявных и параметрических функциях.

Связь между нотациями

\[ \frac{dy}{dx} \approx \frac{\Delta y}{\Delta x}, \quad dy = f'(x)\,dx, \quad D_x f = f'(x), \quad \dot{x} = \frac{dx}{dt} \]
  • Все четыре записи выражают одно и то же: скорость изменения функции.
  • Отличие только в стиле и удобстве записи в разных областях.

    Физический смысл производной

  • \(x(t)\) — положение тела во времени, тогда \(x'(t)\) — скорость тела.
  • \(v(t) = x'(t)\), \(a(t) = v'(t) = x''(t)\) — ускорение.
  • В общем: производная = скорость изменения величины.

Связь с первообразной

  • Если \(F'(x) = f(x)\), то \(F(x)\) — первообразная функции \(f(x)\).
  • Обратная операция: интегрирование → восстановление функции по производной.
  • Связь:
\[ \frac{d}{dx} \int f(x) dx = f(x) \]

Производные высших порядков

  • \(f''(x) = (f'(x))'\) — вторая производная, выпуклость/вогнутость графика.
  • \(f'''(x) = (f''(x))'\) — третья производная, скорость изменения кривизны.

Интерпретация физическая:

  • \(x'(t)\) — скорость, \(x''(t)\) — ускорение, \(x'''(t)\) — «рывок» (jerk).

Касательная к графику функции

Формула касательной в точке \(x_0\):

\[ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \]
  • \(f'(x_0)\) — наклон касательной (угловой коэффициент).
  • \(f(x_0)\) — значение функции в точке.

Производные высших порядков

  • \(f''(x) = (f'(x))'\) — вторая производная, показывает выпуклость графика
  • \(f'''(x) = (f''(x))'\) — третья производная, скорость изменения кривизны

Правила дифференцирования

  • Сумма/разность:
\[ (f \pm g)' = f' \pm g' \]
  • Произведение:
\[ (f \cdot g)' = f'g + fg' \]
  • Частное:
\[ \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}, \quad g\neq0 \]
  • Сложная функция (правило цепочки):
\[ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]
  • Неявная функция:
    Если \(F(x,y)=0\), то
\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y} \]
  • Параметрическая функция:
    Если \(x=x(t)\), \(y=y(t)\), то
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} \]
  • Обратная функция:
    Если \(y=f(x)\) и \(f^{-1}\) существует, то
\[ (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)} \]

Экстремумы и выпуклость

  • \(f'(x)=0\) → критическая точка
  • \(f''(x)>0\) → минимум, \(f''(x)<0\) → максимум
  • \(f''(x)=0\) → точка перегиба