Шпаргалки / Математика / Школа / Матанализ / Дифференциальное исчисление

Производная и её свойства

Производная функции в точке — это скорость изменения функции, предел отношения приращения функции к приращению аргумента.

\[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]

Геометрический смысл производной

  • $f’(x)$ — это угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x$.
  • $f’(x) > 0$ → функция возрастает,
  • $f’(x) < 0$ → функция убывает,
  • $f’(x) = 0$ → горизонтальная касательная (возможный экстремум или седло).

Нотация производной и дифференциала

Производную можно записывать в четырёх основных стилях — Ньютона, Лагранжа, Эйлера и Лейбница.
Разные нотации используются в зависимости от области применения.

Вид записи Автор Где применяется Примечание
$\dot{y}$,
$\ddot{y}$		 Ньютон (XVII в.) Физика, механика, дифф. уравнения по времени Используется, когда аргумент — время $t$. Пример: $\dot{x} = v, \ \ddot{x} = a$.
$f’(x)$, $f’‘(x)$ Лагранж (XVIII в.) Математика, анализ, вычисления Удобна, когда переменная одна и функция явно задана.
$D_x f(x)$, $D^2_x f(x)$ Эйлер (XVIII в.) Теоретическая математика, операторный анализ Акцент на действии оператора дифференцирования $D_x = \frac{d}{dx}$.
$\dfrac{dy}{dx}$, $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ Лейбниц (XVII в.) Классический анализ, физика, инженерка Показывает зависимость $y$ от $x$; удобна при подстановках, неявных и параметрических функциях.

Связь между нотациями

\[ \frac{dy}{dx} \approx \frac{\Delta y}{\Delta x}, \quad dy = f'(x)\,dx, \quad D_x f = f'(x), \quad \dot{x} = \frac{dx}{dt} \]
  • Все четыре записи выражают одно и то же: скорость изменения функции.
  • Отличие только в стиле и удобстве записи в разных областях.

    Физический смысл производной

  • $x(t)$ — положение тела во времени, тогда $x’(t)$ — скорость тела.
  • $v(t) = x’(t)$, $a(t) = v’(t) = x’‘(t)$ — ускорение.
  • В общем: производная = скорость изменения величины.

Связь с первообразной

  • Если $F’(x) = f(x)$, то $F(x)$ — первообразная функции $f(x)$.
  • Обратная операция: интегрирование → восстановление функции по производной.
  • Связь:
\[ \frac{d}{dx} \int f(x) dx = f(x) \]

Производные высших порядков

  • $f’‘(x) = (f’(x))’$ — вторая производная, выпуклость/вогнутость графика.
  • $f’’‘(x) = (f’‘(x))’$ — третья производная, скорость изменения кривизны.

Интерпретация физическая:

  • $x’(t)$ — скорость, $x’‘(t)$ — ускорение, $x’’‘(t)$ — «рывок» (jerk).

Касательная к графику функции

Формула касательной в точке $x_0$:

\[ y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \]
  • $f’(x_0)$ — наклон касательной (угловой коэффициент).
  • $f(x_0)$ — значение функции в точке.

Производные высших порядков

  • $f’‘(x) = (f’(x))’$ — вторая производная, показывает выпуклость графика
  • $f’’‘(x) = (f’‘(x))’$ — третья производная, скорость изменения кривизны

Правила дифференцирования

  • Сумма/разность:
\[ (f \pm g)' = f' \pm g' \]
  • Произведение:
\[ (f \cdot g)' = f'g + fg' \]
  • Частное:
\[ \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}, \quad g\neq0 \]
  • Сложная функция (правило цепочки):
\[ (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]
  • Неявная функция:
    Если $F(x,y)=0$, то
\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y} \]
  • Параметрическая функция:
    Если $x=x(t)$, $y=y(t)$, то
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} \]
  • Обратная функция:
    Если $y=f(x)$ и $f^{-1}$ существует, то
\[ (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)} \]

Экстремумы и выпуклость

  • $f’(x)=0$ → критическая точка
  • $f’‘(x)>0$ → минимум, $f’‘(x)<0$ → максимум
  • $f’‘(x)=0$ → точка перегиба