Шпаргалки / Физика / Механика

15. Вращение твёрдого тела

Вращение твёрдого тела

Уровень: база → вуз

Поступательное и вращательное движение

При поступательном движении все точки тела имеют одинаковую скорость.

При вращении вокруг фиксированной оси все точки имеют одинаковые:

  • угловую координату \(\varphi\);
  • угловую скорость \(\omega\);
  • угловое ускорение \(\varepsilon\);

но линейные скорости зависят от расстояния до оси:

\[ v=\omega r. \]

Кинематика вращения

\[ \omega=\frac{d\varphi}{dt}, \]
\[ \varepsilon=\frac{d\omega}{dt}. \]

При постоянном \(\varepsilon\):

\[ \omega=\omega_0+\varepsilon t, \]
\[ \varphi=\varphi_0+\omega_0t+\frac{\varepsilon t^2}{2}, \]
\[ \omega^2=\omega_0^2+2\varepsilon(\varphi-\varphi_0). \]

Момент силы

\[ \vec\tau=\vec r\times\vec F. \]

Модуль:

\[ \tau=rF\sin\alpha=Fl, \]

где \(l\) — плечо силы.

Момент инерции

\[ I=\sum_i m_ir_i^2 \]

или

\[ I=\int r^2\,dm. \]

Он зависит не только от массы, но и от её распределения и выбранной оси.

Примеры относительно оси симметрии:

  • точка: \(I=mr^2\);
  • тонкое кольцо: \(I=mR^2\);
  • сплошной диск: \(I=mR^2/2\);
  • сплошной шар: \(I=2mR^2/5\);
  • стержень через центр: \(I=mL^2/12\);
  • стержень через конец: \(I=mL^2/3\).

Теорема Штейнера

Для параллельной оси на расстоянии \(d\) от центра масс:

\[ I=I_C+md^2. \]

Основное уравнение вращения

Для фиксированной оси:

\[ \sum\tau=I\varepsilon. \]

Это аналог \(\sum F=ma\).

Кинетическая энергия вращения

\[ E_{\text{вр}}=\frac{I\omega^2}{2}. \]

Угловой момент

Для точки:

\[ \vec L=\vec r\times\vec p. \]

Для твёрдого тела вокруг главной фиксированной оси:

\[ \vec L=I\vec\omega. \]

Общее уравнение:

\[ \frac{d\vec L}{dt}=\vec\tau_{\text{внеш}}. \]

При нулевом внешнем моменте:

\[ \vec L=\text{const}. \]

Пример 1. Диск

\(I=0{,}5\) кг·м², \(\tau=2\) Н·м:

\[ \varepsilon=\frac{2}{0{,}5}=4\ \text{рад/с}^2. \]

Пример 2. Энергия маховика

\(I=10\) кг·м², \(\omega=20\) рад/с:

\[ E=\frac{10\cdot400}{2}=2000\ \text{Дж}. \]

Пример 3. Фигурист

Если \(I\) уменьшилось вдвое и внешний момент мал:

\[ I_1\omega_1=I_2\omega_2, \]
\[ \omega_2=2\omega_1. \]

Энергия при этом может возрасти за счёт работы мышц.

Прецессия

Если внешний момент перпендикулярен \(\vec L\), он меняет в основном направление углового момента. Так возникает прецессия гироскопа.

Для быстрой симметричной юлы грубо:

\[ \Omega\approx\frac{Mgl}{L}. \]

Ошибки

  • Путать момент силы и силу.
  • Использовать расстояние до точки вместо перпендикулярного плеча.
  • Считать \(I\) свойством тела без указания оси.
  • Сохранять \(\omega\), когда сохраняется \(L\).

Самопроверка

  1. Как меняется момент инерции при удалении массы от оси?
  2. Что является аналогом массы во вращении?
  3. При каком условии сохраняется угловой момент?
Ответы 1. Увеличивается. 2. Момент инерции. 3. При нулевом внешнем моменте.