Шпаргалки / Физика / МКТ и термодинамика

03. Идеальный газ и газовые процессы

Идеальный газ и газовые процессы

Уровень: база → первый курс

Модель идеального газа

Идеальный газ — модель, в которой:

  • собственным объёмом молекул пренебрегают;
  • взаимодействием между молекулами вне кратких упругих столкновений пренебрегают;
  • столкновения со стенками и друг с другом упругие;
  • газ находится в термодинамическом равновесии для уравнения состояния.

Модель хороша для разреженных газов вдали от конденсации.

Давление из МКТ

Молекулы передают стенкам импульс. Для изотропного газа:

\[ p=\frac13nm_0\overline{v^2}. \]

Так как

\[ \frac12m_0\overline{v^2}=\frac32kT, \]

то

\[ p=nkT. \]

Умножая на \(V\):

\[ pV=NkT. \]

С \(N=\nu N_A\) и \(R=N_Ak\):

\[ pV=\nu RT. \]

Это уравнение Клапейрона—Менделеева.

Объединённый газовый закон

Для постоянного количества вещества:

\[ \frac{pV}{T}=\text{const}. \]

Между двумя состояниями:

\[ \frac{p_1V_1}{T_1}=\frac{p_2V_2}{T_2}. \]

Изотермический процесс

\[ T=\text{const}. \]
\[ pV=\text{const}. \]

Закон Бойля—Мариотта.

График \(p(V)\) — гипербола.

Изобарный процесс

\[ p=\text{const}. \]
\[ \frac VT=\text{const}. \]

Закон Шарля в принятой русской традиции обозначений.

Изохорный процесс

\[ V=\text{const}. \]
\[ \frac pT=\text{const}. \]

Парциальные давления

Для смеси идеальных газов закон Дальтона:

\[ p=\sum_i p_i. \]
\[ p_i=\frac{N_i kT}{V}. \]

Плотность идеального газа

Из \(\nu=m/M\):

\[ pV=\frac mMRT. \]
\[ \rho=\frac mV=\frac{pM}{RT}. \]

Пример 1. Давление

Один моль при \(T=300\) К занимает \(V=0{,}0249\) м³:

\[ p=\frac{RT}{V}\approx1{,}00\cdot10^5\ \text{Па}. \]

Пример 2. Изохорное нагревание

Газ нагрели от \(300\) до \(450\) К при постоянном объёме:

\[ \frac{p_2}{p_1}=\frac{T_2}{T_1}=1{,}5. \]

Давление выросло в \(1{,}5\) раза.

Пример 3. Изотермическое сжатие

Объём уменьшили в 3 раза:

\[ p_2V_2=p_1V_1. \]
\[ p_2=3p_1. \]

Реальные газы

Уравнение Ван-дер-Ваальса для одного моля:

\[ \left(p+\frac a{V_m^2}\right)(V_m-b)=RT. \]

\(a\) учитывает притяжение, \(b\) — конечный объём частиц.

При низкой плотности поправки малы и получается идеальный газ.

Ошибки

  • Использовать закон процесса, когда изменяются все три параметра без дополнительного условия.
  • Подставлять температуру в Цельсиях.
  • Путать массу и количество вещества.
  • Считать идеальный газ хорошей моделью вблизи насыщения и критической точки.

Самопроверка

  1. Как меняется давление при удвоении температуры в изохорном процессе?
  2. Что постоянно в изотермическом процессе идеального газа?
  3. Как связана плотность идеального газа с давлением при фиксированной температуре?
Ответы 1. Удваивается. 2. \(pV\). 3. Прямо пропорциональна давлению.