Шпаргалки / Физика / Механика

Гравитация и орбиты

Уровень: База → вуз

Гравитация связывает падение тел, вес и движение спутников. Орбита — непрерывное свободное падение мимо поверхности.

Что надо понять

  • Все массы притягиваются.
  • Ускорение свободного падения уменьшается с расстоянием.
  • Круговая орбита требует центростремительного ускорения.
  • Полная энергия связанной орбиты отрицательна.

Основные формулы

1. Всемирное тяготение

\[ F=G\frac{m_1m_2}{r^2} \]

Расстояние измеряется между центрами масс.

2. Поле

\[ g(r)=G\frac{M}{r^2} \]

Сила на массу: \(\vec F=m\vec g\).

3. Потенциальная энергия

\[ U(r)=-G\frac{Mm}{r} \]

Ноль выбран на бесконечности.

4. Круговая орбита

\[ v_{\text{orb}}=\sqrt{\frac{GM}{r}} \]

Получается из равенства гравитационной и центростремительной сил.

5. Скорость убегания

\[ v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{r}} \]

Не зависит от массы запускаемого тела.

Разобранные задачи

Задача 1. Поле на высоте

Условие. Высота равна радиусу Земли. Найти \(g_h/g_0\).

Решение.

Расстояние до центра \(2R\):

\[ \frac{g_h}{g_0}=\frac{GM/(2R)^2}{GM/R^2}=\frac14. \]

Ответ: \(g_h=g_0/4\).

Задача 2. Первая космическая

Условие. Найти скорость у поверхности Земли при \(g=9{,}8\) м/с² и \(R=6{,}37\cdot10^6\) м.

Решение.

\[ v=\sqrt{gR}\approx7{,}9\cdot10^3\,\text{м/с}. \]

Ответ: \(7{,}9\) км/с.

Задача 3. Энергия орбиты

Условие. Найти полную энергию спутника \(m\) на круговой орбите \(r\).

Решение.

Из \(mv^2/r=GMm/r^2\) получаем \(mv^2=GMm/r\).

\[ E=\frac{mv^2}{2}-\frac{GMm}{r} =-\frac{GMm}{2r}. \]

Ответ: \(-GMm/(2r)\).

Алгоритм решения

  1. Определить расстояние от центра.
  2. Выбрать силовой или энергетический метод.
  3. Для круга приравнять гравитационную и центростремительную силы.
  4. Проверить знак энергии.
  5. Проверить предел при большом расстоянии.

Частые ошибки

  • Подставлять высоту вместо расстояния до центра.
  • Считать невесомость отсутствием гравитации.
  • Путать орбитальную скорость и скорость убегания.
  • Использовать \(mgh\) на больших высотах.

Задачи для самопроверки

  1. Как меняется сила при удвоении расстояния?
ОтветУменьшается в 4 раза.
  1. От чего зависит скорость убегания?
ОтветОт массы источника и расстояния до центра.
  1. Почему спутник невесом?
ОтветВсё внутри свободно падает с одинаковым ускорением.

Связи с другими темами

Краткий итог

Гравитация связывает падение тел, вес и движение спутников. Орбита — непрерывное свободное падение мимо поверхности.