Аксиомы

1. Аксиомы планиметрии (Евклидовы аксиомы)

1. Существование точки и прямой
   Через любые две точки можно провести прямую.

2. Продолжение отрезка
   Любой отрезок можно продолжить по обе стороны.

3. Существование круга
   Любая точка может быть центром окружности любого радиуса.

4. Равенство отрезков
   Все прямые отрезки, проведённые на одинаковом расстоянии, равны.

5. Пятый постулат (параллельные прямые)
   Через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

2. Аксиомы стереометрии

1. Точка, прямая и плоскость
   • Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость.
   • Через прямую и точку вне неё проходит только одна плоскость.
2. Сечение плоскостью
   • Плоскость, пересекающая фигуру, образует сечение.
   • Сечение плоскостью, параллельное основанию призмы или пирамиды, имеет такие же формы.
3. Прямые в пространстве
   • Две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости.
   • Две параллельные прямые лежат в одной плоскости.

3. Аксиомы о принадлежности и порядке

1. Через две точки проходит только одна прямая.
2. На прямой есть бесконечное число точек.
3. Для любых двух точек существует одинаковое расстояние.
4. Если точка $B$ лежит между точками $A$ и $C$, то:

1. Любой отрезок имеет конечную длину.
2. Прямая может быть продолжена на любое расстояние.
3. Все прямые и точки можно расположить на плоскости или в пространстве так, чтобы выполнялись вышеуказанные аксиомы.

4. Полезные комментарии

• Аксиомы — это базовые утверждения, которые не доказываются, а принимаются за данность.
• На их основе строятся теоремы, определения и доказательства в геометрии.
• Евклидовы аксиомы составляют фундамент классической геометрии, а все школьные теоремы так или иначе следуют из них.