Свойства степеней
| Свойство | Формула |
|---|---|
| Произведение степеней с одинаковым основанием | \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) |
| Частное степеней с одинаковым основанием | \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n},\ a \neq 0\) |
| Возведение степени в степень | \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\) |
| Степень произведения | \((ab)^n = a^n b^n\) |
| Возведение дроби в степень | \(\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n},\ b \neq 0\) |
| Нулевая степень | \(a^0 = 1,\ a \neq 0\) |
| Отрицательная степень | \(a^{-n} = \frac{1}{a^n},\ a \neq 0\) |
| Степень единицы | \(1^n = 1\) |
| Степень отрицательного числа | \((-a)^n = (-1)^n a^n\) |
| Степень с дробным показателем | \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = \bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^m, \qquad a > 0, \quad m \in \mathbb{R}, \ n \in \mathbb{R} \setminus \{0\}.\) |
| \(0^n = 0,\ n>0\) | |
| \(0^0 \text{ не определено}\) |
- Показатель целый (
m ∈ ℤ)
Основаниеaможет быть любым числом: отрицательным, нулём или положительным. - Показатель дробный или действительный (
m ∈ ℝ \ ℤ)
Основаниеaдолжно быть больше нуля, иначе результат не будет действительным числом.Свойства корней n-ой степени
| \(\sqrt{a^2}=\|a\|\) |
|---|
| \((\sqrt{a})^2=a,\quad a \ge 0\) |
| \(\sqrt[2n]{a^{2n}}=\|a\|,\quad \sqrt[2n+1]{a^{2n+1}}=a,\quad a\in R, n\in N\) |
| \(\begin{align}\sqrt[n]{ab} &= \sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b},\\ \sqrt[n]{\tfrac{a}{b}} &= \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},\end{align} \qquad a \ge 0,\; b \ge 0,\; n \in \mathbb{N},\; n \ge 2\) |
| \(\begin{align}\sqrt[n]{\sqrt[k]{a}} &= \sqrt[nk]{a},\\ \sqrt[nk]{a^k} &= \sqrt[n]{a},\\ \sqrt[n]{a^k}&=(\sqrt[n]{a})^k\end{align} \qquad a \ge 0,\; b \ge 0,\; n \in \mathbb{N},k \in \mathbb{N},\; n \ge 2,k\ge 2\) |
Подкоренное выражение под корнем чётной степени должно быть неотрицательным, а под корнем нечётной степени ограничений нет.
\[
\text{Если корень чётной степени: } \sqrt[2n]{a}, \quad a \ge 0
\]
\[
\text{Если корень нечётной степени: } \sqrt[2n+1]{a}, \quad a \in \mathbb{R}
\]