Функции
Функция
Функция — это соответствие между элементами множества \(X\) (область определения) и множества \(Y\) (область значений), при котором каждому \(x \in X\) ставится в соответствие ровно одно \(y \in Y\).
1. Основные определения
- Аргумент \(x\) — элемент области определения, подставляемый в функцию.
- Значение функции \(y = f(x)\) — результат применения функции к аргументу \(x\).
- Область определения \(D(f)\) — множество всех допустимых значений \(x\).
- Область значений \(E(f)\) — множество всех возможных значений \(y\).
Пример:
\[
f(x) = 2x + 3
\]
- \(D(f) = \mathbb{R}\), \(E(f) = \mathbb{R}\).
2. Четность функции
- Если \(f(−x)=f(x)\) для всех \(x \in D(f)\) — функция чётная.
- Если \(f(-x)=-f(x)\) для всех \(x\in D(f)\) — функция нечётная.
- Если ни то, ни другое (или выполняется, но не для всех \(x\)) — функция общего вида.
3. Основные виды функций
3.1 Линейная функция
Форма:
\[
f(x) = kx + b
\]
где \(k, b \in \mathbb{R}\), \(k \neq 0\).
- \(k\) определяет наклон графика (угловой коэффициент).
- \(b\) определяет точку пересечения графика с осью \(y\).
Свойства:
- \(k > 0 \Rightarrow f(x)\) строго возрастает на \(\mathbb{R}\).
- \(k < 0 \Rightarrow f(x)\) строго убывает на \(\mathbb{R}\).
- \(k = 0 \Rightarrow f(x)\) постоянна.
Пример:
\[
f(x) = 3x - 2, \quad D(f) = \mathbb{R}, \quad E(f) = \mathbb{R}
\]
3.2 Модуль линейной функции
Форма:
\[
f(x) = |kx + b|
\]
- Применение модуля гарантирует неотрицательность значений функции.
- График имеет форму буквы “V” с вершиной в точке \(x_0\), где \(kx_0 + b = 0\).
- Для \(x < x_0\): \(f(x) = -(kx + b)\)
- Для \(x \ge x_0\): \(f(x) = kx + b\)
Пример:
\[
f(x) = |2x - 4|, \quad x_0 = 2, \quad D(f) = \mathbb{R}, \quad E(f) = [0,+\infty)
\]
3.3 Квадратичная функция
Форма:
\[
f(x) = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0
\]
- График — парабола.
- Ветви направлены вверх при \(a > 0\) и вниз при \(a < 0\).
- Вершина параболы:
\[
x_v = -\frac{b}{2a}, \quad y_v = f(x_v)
\]
Пример:
\[
f(x) = x^2 - 4x + 3, \quad x_v = 2, \quad y_v = -1
\]
- \(D(f) = \mathbb{R}\), \(E(f) = [-1, +\infty)\)
3.4 Степенная функция
Форма:
\[
f(x) = x^n, \quad n \in \mathbb{N}
\]
- \(n\) четное → график U-образный, симметрия относительно оси \(y\).
- \(n\) нечетное → график S-образный, симметрия относительно начала координат.
- \(D(f) = \mathbb{R}\)
- \(E(f) = [0,+\infty)\), если \(n\) четное, \(E(f) = \mathbb{R}\), если \(n\) нечетное.
3.5 Корень (радикальная) функция
Форма:
\[
f(x) = \sqrt[n]{x}, \quad n \in \mathbb{N}
\]
- \(n\) четное → \(D(f) = [0,+\infty)\)
- \(n\) нечетное → \(D(f) = \mathbb{R}\)
- График строго возрастает на \(D(f)\)
- \(E(f) = D(f)\)
3.6 Обратная (гипербола)
Форма:
\[
f(x) = \frac{1}{x}, \quad x \neq 0
\]
- График — гипербола с асимптотами: вертикальная \(x = 0\), горизонтальная \(y = 0\).
- \(D(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}\), \(E(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}\)
3.7 Экспоненциальная функция
Форма:
\[
f(x) = a^x, \quad a > 0, a \neq 1
\]
- \(a > 1 \Rightarrow f(x)\) строго возрастает.
- \(0 < a < 1 \Rightarrow f(x)\) строго убывает.
- \(D(f) = \mathbb{R}\), \(E(f) = (0,+\infty)\)
3.8 Логарифмическая функция
Форма:
\[
f(x) = \log_a x, \quad a > 0, a \neq 1
\]
- Обратная к экспоненте: \(f(\log_a x) = x\).
- \(a > 1 \Rightarrow f(x)\) возрастает.
- \(0 < a < 1 \Rightarrow f(x)\) убывает.
- \(D(f) = (0,+\infty)\), \(E(f) = \mathbb{R}\)
3.9 Тригонометрические функции
- \(f(x) = \sin x\), \(f(x) = \cos x\), \(f(x) = \tan x\), \(f(x) = \cot x\)
- Свойства: периодические функции с известными периодами:
- \(\sin x, \cos x\): период \(2\pi\), \(D(f) = \mathbb{R}\), \(E(f) = [-1,1]\)
- \(\tan x\): период \(\pi\), \(D(f) = \mathbb{R} \setminus \{\pi/2 + k\pi\}\), \(E(f) = \mathbb{R}\)
- \(\cot x\): период \(\pi\), \(D(f) = \mathbb{R} \setminus \{k\pi\}\), \(E(f) = \mathbb{R}\)
4. Обратные функции
- \(f^{-1}(x)\) — функция, удовлетворяющая условию:
\[
f(f^{-1}(x)) = x
\]
- Функция должна быть строго монотонной на \(D(f)\) для существования обратной.
- Алгоритм нахождения:
- Пишем \(y = f(x)\)
- Меняем \(x \leftrightarrow y\)
- Решаем для \(y\), получаем \(f^{-1}(x)\)
Пример:
\[
f(x) = 2x + 3 \Rightarrow y = 2x + 3 \Rightarrow x = 2y + 3 \Rightarrow y = \frac{x-3}{2}
\]
\[
f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}
\]
5. Основные операции с функциями
- Сумма: \((f+g)(x) = f(x) + g(x)\)
- Разность: \((f-g)(x) = f(x) - g(x)\)
- Произведение: \((f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x)\)
- Частное: \((f/g)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}, \quad g(x) \neq 0\)
- Композиция: \((f \circ g)(x) = f(g(x))\)
6. Свойства функций
- Чётность: \(f(-x) = f(x)\)
- Нечётность: \(f(-x) = -f(x)\)
- Монотонность: строго возрастает или строго убывает
- Периодичность: \(f(x+T) = f(x)\)
7. Таблица доменов и диапазонов
| Функция | \(D(f)\) | \(E(f)\) |
|---|---|---|
| Линейная | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) |
| Модуль линейной | \(\mathbb{R}\) | \([0,+\infty)\) |
| Квадратичная | \(\mathbb{R}\) | \([y_v,+\infty)\) или \((-\infty,y_v]\) |
| Степенная (n чётн.) | \(\mathbb{R}\) | \([0,+\infty)\) |
| Степенная (n нечётн.) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) |
| Корень четный | \([0,+\infty)\) | \([0,+\infty)\) |
| Обратная (гипербола) | \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) | \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) |
| Экспонента | \(\mathbb{R}\) | \((0,+\infty)\) |
| Логарифм | \((0,+\infty)\) | \(\mathbb{R}\) |
| Синус/Косинус | \(\mathbb{R}\) | \([-1,1]\) |
| Тангенс/Котангенс | \(\mathbb{R} \setminus \{k\pi/2\}\) | \(\mathbb{R}\) |