Функция
Функция — это соответствие между элементами множества $X$ (область определения) и множества $Y$ (область значений), при котором каждому $x \in X$ ставится в соответствие ровно одно $y \in Y$.
1. Основные определения
- Аргумент $x$ — элемент области определения, подставляемый в функцию.
- Значение функции $y = f(x)$ — результат применения функции к аргументу $x$.
- Область определения $D(f)$ — множество всех допустимых значений $x$.
- Область значений $E(f)$ — множество всех возможных значений $y$.
Пример:
\[
f(x) = 2x + 3
\]
- $D(f) = \mathbb{R}$, $E(f) = \mathbb{R}$.
2. Четность функции
- Если $f(−x)=f(x)$ для всех $x \in D(f)$ — функция чётная.
- Если $f(-x)=-f(x)$ для всех $x\in D(f)$ — функция нечётная.
- Если ни то, ни другое (или выполняется, но не для всех $x$) — функция общего вида.
3. Основные виды функций
3.1 Линейная функция
Форма:
\[
f(x) = kx + b
\]
где $k, b \in \mathbb{R}$, $k \neq 0$.
- $k$ определяет наклон графика (угловой коэффициент).
- $b$ определяет точку пересечения графика с осью $y$.
Свойства:
- $k > 0 \Rightarrow f(x)$ строго возрастает на $\mathbb{R}$.
- $k < 0 \Rightarrow f(x)$ строго убывает на $\mathbb{R}$.
- $k = 0 \Rightarrow f(x)$ постоянна.
Пример:
\[
f(x) = 3x - 2, \quad D(f) = \mathbb{R}, \quad E(f) = \mathbb{R}
\]
3.2 Модуль линейной функции
Форма:
\[
f(x) = |kx + b|
\]
- Применение модуля гарантирует неотрицательность значений функции.
- График имеет форму буквы “V” с вершиной в точке $x_0$, где $kx_0 + b = 0$.
- Для $x < x_0$: $f(x) = -(kx + b)$
- Для $x \ge x_0$: $f(x) = kx + b$
Пример:
\[
f(x) = |2x - 4|, \quad x_0 = 2, \quad D(f) = \mathbb{R}, \quad E(f) = [0,+\infty)
\]
3.3 Квадратичная функция
Форма:
\[
f(x) = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0
\]
- График — парабола.
- Ветви направлены вверх при $a > 0$ и вниз при $a < 0$.
- Вершина параболы:
\[
x_v = -\frac{b}{2a}, \quad y_v = f(x_v)
\]
Пример:
\[
f(x) = x^2 - 4x + 3, \quad x_v = 2, \quad y_v = -1
\]
- $D(f) = \mathbb{R}$, $E(f) = [-1, +\infty)$
3.4 Степенная функция
Форма:
\[
f(x) = x^n, \quad n \in \mathbb{N}
\]
- $n$ четное → график U-образный, симметрия относительно оси $y$.
- $n$ нечетное → график S-образный, симметрия относительно начала координат.
- $D(f) = \mathbb{R}$
- $E(f) = [0,+\infty)$, если $n$ четное, $E(f) = \mathbb{R}$, если $n$ нечетное.
3.5 Корень (радикальная) функция
Форма:
\[
f(x) = \sqrt[n]{x}, \quad n \in \mathbb{N}
\]
- $n$ четное → $D(f) = [0,+\infty)$
- $n$ нечетное → $D(f) = \mathbb{R}$
- График строго возрастает на $D(f)$
- $E(f) = D(f)$
3.6 Обратная (гипербола)
Форма:
\[
f(x) = \frac{1}{x}, \quad x \neq 0
\]
- График — гипербола с асимптотами: вертикальная $x = 0$, горизонтальная $y = 0$.
- $D(f) = \mathbb{R} \setminus {0}$, $E(f) = \mathbb{R} \setminus {0}$
3.7 Экспоненциальная функция
Форма:
\[
f(x) = a^x, \quad a > 0, a \neq 1
\]
- $a > 1 \Rightarrow f(x)$ строго возрастает.
- $0 < a < 1 \Rightarrow f(x)$ строго убывает.
- $D(f) = \mathbb{R}$, $E(f) = (0,+\infty)$
3.8 Логарифмическая функция
Форма:
\[
f(x) = \log_a x, \quad a > 0, a \neq 1
\]
- Обратная к экспоненте: $f(\log_a x) = x$.
- $a > 1 \Rightarrow f(x)$ возрастает.
- $0 < a < 1 \Rightarrow f(x)$ убывает.
- $D(f) = (0,+\infty)$, $E(f) = \mathbb{R}$
3.9 Тригонометрические функции
- $f(x) = \sin x$, $f(x) = \cos x$, $f(x) = \tan x$, $f(x) = \cot x$
- Свойства: периодические функции с известными периодами:
- $\sin x, \cos x$: период $2\pi$, $D(f) = \mathbb{R}$, $E(f) = [-1,1]$
- $\tan x$: период $\pi$, $D(f) = \mathbb{R} \setminus {\pi/2 + k\pi}$, $E(f) = \mathbb{R}$
- $\cot x$: период $\pi$, $D(f) = \mathbb{R} \setminus {k\pi}$, $E(f) = \mathbb{R}$
4. Обратные функции
- $f^{-1}(x)$ — функция, удовлетворяющая условию:
\[
f(f^{-1}(x)) = x
\]
- Функция должна быть строго монотонной на $D(f)$ для существования обратной.
- Алгоритм нахождения:
- Пишем $y = f(x)$
- Меняем $x \leftrightarrow y$
- Решаем для $y$, получаем $f^{-1}(x)$
Пример:
\[
f(x) = 2x + 3 \Rightarrow y = 2x + 3 \Rightarrow x = 2y + 3 \Rightarrow y = \frac{x-3}{2}
\]
\[
f^{-1}(x) = \frac{x-3}{2}
\]
5. Основные операции с функциями
- Сумма: $ (f+g)(x) = f(x) + g(x) $
- Разность: $ (f-g)(x) = f(x) - g(x) $
- Произведение: $ (f \cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x) $
- Частное: $ (f/g)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}, \quad g(x) \neq 0 $
- Композиция: $ (f \circ g)(x) = f(g(x)) $
6. Свойства функций
- Чётность: $ f(-x) = f(x) $
- Нечётность: $ f(-x) = -f(x) $
- Монотонность: строго возрастает или строго убывает
- Периодичность: $ f(x+T) = f(x) $
7. Таблица доменов и диапазонов
| Функция | $D(f)$ | $E(f)$ |
|---|---|---|
| Линейная | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}$ |
| Модуль линейной | $\mathbb{R}$ | $[0,+\infty)$ |
| Квадратичная | $\mathbb{R}$ | $[y_v,+\infty)$ или $(-\infty,y_v]$ |
| Степенная (n чётн.) | $\mathbb{R}$ | $[0,+\infty)$ |
| Степенная (n нечётн.) | $\mathbb{R}$ | $\mathbb{R}$ |
| Корень четный | $[0,+\infty)$ | $[0,+\infty)$ |
| Обратная (гипербола) | $\mathbb{R} \setminus {0}$ | $\mathbb{R} \setminus {0}$ |
| Экспонента | $\mathbb{R}$ | $(0,+\infty)$ |
| Логарифм | $(0,+\infty)$ | $\mathbb{R}$ |
| Синус/Косинус | $\mathbb{R}$ | $[-1,1]$ |
| Тангенс/Котангенс | $\mathbb{R} \setminus {k\pi/2}$ | $\mathbb{R}$ |