Шпаргалки / Физика / Физика конденсированных сред

Кристаллография

Уровень: Вуз → обзор

Кристаллография изучает периодическое расположение атомов, симметрии кристаллов и связь структуры со свойствами материала.

Что надо понять

  • Кристаллическая решётка и базис вместе задают структуру.
  • Элементарная ячейка повторяется трансляциями.
  • Обратная решётка удобна для дифракции и зонной теории.
  • Дефекты реальны и часто определяют механические и электрические свойства.

Основные формулы

1. Вектор решётки

\[ \vec R=n_1\vec a_1+n_2\vec a_2+n_3\vec a_3 \]

\(n_i\) — целые числа.

2. Объём ячейки

\[ V_c=\vec a_1\cdot(\vec a_2\times\vec a_3) \]

Для кубической ячейки \(V_c=a^3\).

3. Плотность кристалла

\[ \rho=\frac{Z M}{N_A V_c} \]

\(Z\) — число формульных единиц в ячейке.

4. Закон Брэгга

\[ 2d\sin\theta=n\lambda \]

Условие конструктивной интерференции на кристаллических плоскостях.

5. Межплоскостное расстояние

\[ d_{hkl}=\frac{a}{\sqrt{h^2+k^2+l^2}} \]

Для кубической решётки.

6. Координационное число

\[ z=\text{число ближайших соседей} \]

Например, \(z=12\) для ГЦК.

Разобранные задачи

Задача 1. Плотность ОЦК

Условие. Кубическая ОЦК-решётка имеет \(Z=2\), параметр \(a=0{,}30\) нм, молярная масса \(56\) г/моль.

Решение.

\[ V_c=a^3=(0{,}30\cdot10^{-9})^3=2{,}7\cdot10^{-29}\,\text{м}^3. \]
\[ \rho=\frac{2\cdot0{,}056}{6{,}022\cdot10^{23}\cdot2{,}7\cdot10^{-29}} \approx6{,}9\cdot10^3\,\text{кг/м}^3. \]

Ответ: примерно \(6{,}9\) г/см³.

Задача 2. Брэгг

Условие. \(\lambda=0{,}154\) нм, \(d=0{,}20\) нм, первый порядок.

Решение.

\[ \sin\theta=\frac{\lambda}{2d} =\frac{0{,}154}{0{,}40}=0{,}385. \]
\[ \theta\approx22{,}6^\circ. \]

Ответ: \(22{,}6^\circ\).

Задача 3. Индексы Миллера

Условие. Плоскость пересекает оси в точках \(a\), \(2a\) и бесконечности.

Решение.

В единицах параметра решётки перехваты:

\[ (1,2,\infty). \]

Берём обратные:

\[ \left(1,\frac12,0\right). \]

Умножаем на 2:

\[ (210). \]

Ответ: индексы \((210)\).

Алгоритм решения

  1. Определить тип решётки и число частиц в ячейке.
  2. Выбрать прямое или обратное пространство.
  3. Для дифракции определить семейство плоскостей.
  4. Применить закон Брэгга.
  5. Проверить размерность параметров ячейки.

Частые ошибки

  • Путать решётку и кристаллическую структуру.
  • Считать все атомы на границе ячейки принадлежащими ей целиком.
  • Путать угол Брэгга с углом между падающим и отражённым лучами.
  • Считать дефекты только вредными.

Задачи для самопроверки

  1. Сколько атомов в простой кубической ячейке?
Ответ\(1\).
  1. Сколько атомов в ГЦК-ячейке?
Ответ\(4\).
  1. Что измеряет рентгеновская дифракция?
ОтветПериодичность и межплоскостные расстояния.

Связи с другими темами

Краткий итог

Кристаллография изучает периодическое расположение атомов, симметрии кристаллов и связь структуры со свойствами материала.