Шпаргалки / Математика / Школа / Алгебра / Уравнения и неравенства

Однородные и неоднородные уравнения

Однородное уравнение

— уравнение, все члены которого имеют одинаковую степень относительно переменных.

Примеры:

  • $x^2 + 3xy + 2y^2 = 0$ — однородное (все члены второй степени)
  • $x^3 - y^3 = 0$ — однородное (все члены третьей степени)

Общая форма:

\[ a_1x^n + a_2x^{n-1}y + \dots + a_k y^n = 0 \]

Свойство:
Если $(x, y)$ — решение, то и $(kx, ky)$ — тоже решение для любого $k \neq 0$.

Неоднородное уравнение

— уравнение, где члены имеют разные степени или есть свободный член (не зависящий от переменных).

Примеры:

  • $x^2 + y^2 = 1$ — неоднородное (есть свободный член $1$)
  • $x^2 + 2x + 1 = 0$ — неоднородное (члены разной степени)

Общая форма:

\[ a_1x^n + a_2x^{n-1}y + \dots + a_k y^m + c = 0, \qquad \text{(где степени не равны или есть } c) \]

Шпаргалка для распознавания

Признак Однородное Неоднородное
Все члены одной степени ✅ Да ❌ Нет
Есть свободный член ❌ Нет ✅ Да
Масштабное свойство $(kx, ky)$ — решение ✅ Работает ❌ Не работает
Пример $x^2 + xy + y^2 = 0$ $x^2 + xy + 1 = 0$

Замена для упрощения

Для однородных уравнений часто используют замену:

\[ y = tx \quad \text{или} \quad x = ty \]

чтобы свести задачу к уравнению с одной переменной $t$.

После замены делим на общую степень переменной (например, на $x^n$), решаем относительно $t$,
а потом возвращаемся к $x, y$.

Деление на неизвестную переменную

Когда можно делить

Можно делить на переменную (например, на $x$), если:

  1. Уравнение однородное;
  2. Эта переменная входит во все члены уравнения;
  3. После деления обязательно рассмотреть случай, когда $x = 0$.

Пример:

\[ x^2 + xy = 0 \]

Делим на $x$ (при $x \neq 0$):

\[ x + y = 0 \]

Дополнительно проверяем $x=0$:
при $x=0$ получаем $0 + 0 = 0$ → подходит.
✅ Ответ: $x=0$ или $x+y=0$.

Когда делить нельзя

Если уравнение неоднородное или переменная не входит во все члены,
делить нельзя — теряются решения и меняется смысл уравнения.

Пример:

\[ x^2 + y = 0 \]

Делить на $x$ нельзя — нарушится структура (степени разные, $x$ не во всех членах).

Правило

Делить можно только в однородных уравнениях,
и только на переменную, входящую во все члены,
при этом отдельно рассмотреть случай, когда делитель равен нулю.