Шпаргалки / Математика / Школа / Алгебра / Уравнения и неравенства

Однородные и неоднородные уравнения

Однородное уравнение

— уравнение, все члены которого имеют одинаковую степень относительно переменных.

Примеры:

$$x^2 + 3xy + 2y^2 = 0$$ — однородное (все члены второй степени)
$$x^3 - y^3 = 0$$ — однородное (все члены третьей степени)

Общая форма:

a_1x^n + a_2x^{n-1}y + \dots + a_k y^n = 0

Свойство:
Если $$(x, y)$$ — решение, то и $$(kx, ky)$$ — тоже решение для любого $k \neq 0$ .

Неоднородное уравнение

— уравнение, где члены имеют разные степени или есть свободный член (не зависящий от переменных).

Примеры:

$$x^2 + y^2 = 1$$ — неоднородное (есть свободный член $$1$$ )
$$x^2 + 2x + 1 = 0$$ — неоднородное (члены разной степени)

Общая форма:

a_1x^n + a_2x^{n-1}y + \dots + a_k y^m + c = 0, \qquad \text{(где степени не равны или есть } c)

Шпаргалка для распознавания

Признак	Однородное	Неоднородное
Все члены одной степени	✅ Да	❌ Нет
Есть свободный член	❌ Нет	✅ Да
Масштабное свойство $$(kx, ky)$$ — решение	✅ Работает	❌ Не работает
Пример	$$x^2 + xy + y^2 = 0$$	$$x^2 + xy + 1 = 0$$

Замена для упрощения

Для однородных уравнений часто используют замену:

y = tx \quad \text{или} \quad x = ty

чтобы свести задачу к уравнению с одной переменной $$t$$ .

После замены делим на общую степень переменной (например, на $$x^n$$ ), решаем относительно $$t$$ ,
а потом возвращаемся к $$x, y$$ .

Деление на неизвестную переменную

Когда можно делить

Можно делить на переменную (например, на $$x$$ ), если:

Уравнение однородное;
Эта переменная входит во все члены уравнения;
После деления обязательно рассмотреть случай, когда $$x = 0$$ .

Пример:

\[ x^2 + xy = 0 \]

Делим на $$x$$ (при $x \neq 0$ ):

\[ x + y = 0 \]

Дополнительно проверяем $$x=0$$ :
при $$x=0$$ получаем $$0 + 0 = 0$$ → подходит.
✅ Ответ: $$x=0$$ или $$x+y=0$$ .

Когда делить нельзя

Если уравнение неоднородное или переменная не входит во все члены,
делить нельзя — теряются решения и меняется смысл уравнения.

Пример:

\[ x^2 + y = 0 \]

Делить на $$x$$ нельзя — нарушится структура (степени разные, $$x$$ не во всех членах).

Правило

Делить можно только в однородных уравнениях,
и только на переменную, входящую во все члены,
при этом отдельно рассмотреть случай, когда делитель равен нулю.