Тригонометрические
1. Общие решения основных уравнений
- Синус
\[
\sin x = a \implies x = \arcsin a + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin a + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
- Косинус
\[
\cos x = a \implies x = \arccos a + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = -\arccos a + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
- Тангенс
\[
\tan x = a \implies x = \arctan a + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
- Котангенс
\[
\cot x = a \implies x = \arccot a + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
2. Пример решения уравнения
Уравнение:
\[
\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
Решение:
- Находим главный угол:
\[
x_0 = \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}
\]
- Используем формулу общего решения для синуса:
\[
x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \pi - \frac{\pi}{4} + 2\pi k
\]
- Упрощаем второе выражение:
\[
x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}
\]
Запись корней кратко:
\[
x = \frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}, \quad \text{(т.к. $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{3\pi}{4}$ через $\pi$ смещаются)}
\]
3. Решение неравенств
Пример:
\[
\cos x > 0
\]
Решение:
- Учтем, что $\cos x > 0$ в I и IV квадрантах.
- Общая запись через период $2\pi$:
\[
x \in (-\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \frac{\pi}{2} + 2\pi k), \quad k \in \mathbb{Z}
\]
4. Шаги при решении
- Привести уравнение/неравенство к одной функции: $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, $\cot x$.
- Найти главный угол (аргумент функции).
- Использовать формулу общего решения.
- Для неравенств: учесть знак функции в квадрантах и периодичность.
- Записать корни через $k \in \mathbb{Z}$