05. Движение по окружности
Движение по окружности
Уровень: база → первый курс
Угловая координата
Положение на окружности удобно задавать углом \(\varphi\).
В радианах:
\[
\varphi=\frac{s}{R}.
\]
Угловая скорость
\[
\omega=\frac{d\varphi}{dt}.
\]
Для равномерного вращения:
\[
\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f.
\]
Линейная скорость
\[
v=\omega R.
\]
Она направлена по касательной.
Угловое ускорение
\[
\varepsilon=\frac{d\omega}{dt}.
\]
Тангенциальное ускорение:
\[
a_\tau=\varepsilon R.
\]
Нормальное ускорение
Даже при постоянном модуле скорости меняется направление:
\[
a_n=\frac{v^2}{R}=\omega^2R.
\]
Оно направлено к центру.
Полное ускорение
Если меняется и модуль скорости:
\[
a=\sqrt{a_\tau^2+a_n^2}.
\]
Центростремительная сила
Это не отдельный вид взаимодействия. Так называют равнодействующую реальных сил в радиальном направлении:
\[
\sum F_r=m\frac{v^2}{R}.
\]
Роль центростремительной силы могут выполнять:
- натяжение нити;
- трение;
- гравитация;
- реакция опоры;
- электрическая или магнитная сила.
Пример 1. Колесо
\(R=0{,}5\) м, \(f=2\) Гц.
\[
\omega=2\pi f=4\pi\ \text{рад/с}.
\]
\[
v=\omega R=2\pi\approx6{,}28\ \text{м/с}.
\]
\[
a_n=\omega^2R=8\pi^2\approx79\ \text{м/с}^2.
\]
Пример 2. Автомобиль на плоском повороте
Трение обеспечивает центростремительную силу:
\[
F_{\text{тр}}=\frac{mv^2}{R}.
\]
Максимум трения:
\[
F_{\text{тр}}\le\mu mg.
\]
Поэтому
\[
v_{\max}=\sqrt{\mu gR}.
\]
Пример 3. Верхняя точка петли
Тело движется внутри вертикальной петли радиуса \(R\). В верхней точке к центру направлены и \(mg\), и реакция \(N\):
\[
mg+N=m\frac{v^2}{R}.
\]
Минимальная скорость без отрыва соответствует \(N=0\):
\[
v_{\min}=\sqrt{gR}.
\]
Ошибки
- Рисовать отдельную «центростремительную силу» поверх реальных сил.
- Направлять скорость к центру.
- Считать ускорение нулевым при постоянном модуле скорости.
- Путать центростремительную силу и центробежную силу инерции.
Самопроверка
- Куда направлены скорость и нормальное ускорение?
- Как изменится \(a_n\) при удвоении скорости?
- Что является центростремительной силой для спутника?