Шпаргалки / Физика / Механика

02. Путь, перемещение, скорость и ускорение

Путь, перемещение, скорость и ускорение

Уровень: база

Перемещение

Перемещение — вектор из начального положения в конечное:

\[ \Delta\vec r=\vec r_2-\vec r_1. \]

Оно зависит только от концов движения, а не от формы пути.

Путь

Путь \(s\) — длина пройденной траектории.

\[ s\ge |\Delta\vec r|. \]

Равенство выполняется для движения по прямой без изменения направления.

После возвращения в исходную точку:

\[ \Delta\vec r=0, \]

но путь обычно ненулевой.

Средняя векторная скорость

\[ \vec v_{\text{ср}}=\frac{\Delta\vec r}{\Delta t}. \]

Направлена вдоль перемещения.

Средняя путевая скорость

\[ v_{\text{пут}}=\frac{s}{\Delta t}. \]

Это скалярная положительная величина.

Мгновенная скорость

\[ \vec v=\frac{d\vec r}{dt}. \]

Она направлена по касательной к траектории.

Модуль скорости:

\[ v=|\vec v|. \]

Ускорение

Ускорение показывает изменение вектора скорости:

\[ \vec a=\frac{d\vec v}{dt}. \]

Скорость может меняться:

  • по модулю;
  • по направлению;
  • одновременно по модулю и направлению.

Поэтому при равномерном движении по окружности модуль скорости постоянен, но ускорение ненулевое.

Тангенциальное и нормальное ускорение

\[ \vec a=\vec a_\tau+\vec a_n. \]

Тангенциальная часть меняет модуль скорости:

\[ a_\tau=\frac{dv}{dt}. \]

Нормальная часть меняет направление:

\[ a_n=\frac{v^2}{R}. \]

Пример 1. Круговая прогулка

Человек прошёл один круг стадиона длиной \(400\) м за \(100\) с.

Путь:

\[ s=400\ \text{м}. \]

Перемещение:

\[ \Delta\vec r=0. \]

Средняя путевая скорость:

\[ v_{\text{пут}}=4\ \text{м/с}. \]

Средняя векторная скорость:

\[ \vec v_{\text{ср}}=0. \]

Пример 2. Две половины пути

Половина пути пройдена со скоростью \(v_1\), половина — \(v_2\).

Пусть каждая половина равна \(L\):

\[ t=\frac{L}{v_1}+\frac{L}{v_2}. \]
\[ v_{\text{ср}}=\frac{2L}{L/v_1+L/v_2} =\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}. \]

Это гармоническое, а не арифметическое среднее.

Для \(40\) и \(60\) км/ч:

\[ v_{\text{ср}}=48\ \text{км/ч}. \]

Пример 3. Ускорение и знак скорости

Пусть

\[ v=-10+2t. \]

Ускорение:

\[ a=2\ \text{м/с}^2. \]

До \(t=5\) с скорость отрицательна, но её модуль уменьшается: тело тормозит. После \(5\) с скорость положительна и модуль растёт.

Знак ускорения сам по себе не определяет торможение. Надо сравнивать направления \(\vec v\) и \(\vec a\).

Ошибки

  • Путать путь и модуль перемещения.
  • Делить путь на время и называть результат векторной средней скоростью.
  • Считать отрицательную скорость невозможной.
  • Считать положительное ускорение обязательным разгоном.

Самопроверка

  1. Когда \(s=|\Delta\vec r|\)?
  2. Может ли ускорение быть перпендикулярно скорости?
  3. Автомобиль вернулся в начало. Чему равна средняя векторная скорость?
Ответы 1. При прямолинейном движении без смены направления. 2. Да, при изменении только направления, например на окружности. 3. Нулю.