04. Движение в двух измерениях и бросок тела
Движение в двух измерениях и бросок тела
Уровень: база → первый курс
Независимость проекций
Векторное уравнение
\[
\vec r=\vec r_0+\vec v_0t+\frac{\vec a t^2}{2}
\]
эквивалентно отдельным уравнениям по осям.
При броске без сопротивления воздуха:
\[
a_x=0,
\]
\[
a_y=-g.
\]
Горизонтальное и вертикальное движения связаны общим временем, но описываются отдельно.
Бросок под углом
Начальная скорость:
\[
v_{0x}=v_0\cos\alpha,
\]
\[
v_{0y}=v_0\sin\alpha.
\]
Координаты:
\[
x=x_0+v_0\cos\alpha\,t,
\]
\[
y=y_0+v_0\sin\alpha\,t-\frac{gt^2}{2}.
\]
Скорости:
\[
v_x=v_0\cos\alpha,
\]
\[
v_y=v_0\sin\alpha-gt.
\]
Уравнение траектории
Из
\[
t=\frac{x-x_0}{v_0\cos\alpha}
\]
получаем
\[
y=y_0+(x-x_0)\tan\alpha
-\frac{g(x-x_0)^2}{2v_0^2\cos^2\alpha}.
\]
Это парабола.
Если старт и финиш на одной высоте
Время полёта:
\[
T=\frac{2v_0\sin\alpha}{g}.
\]
Максимальная высота над точкой старта:
\[
H=\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}.
\]
Дальность:
\[
L=\frac{v_0^2\sin2\alpha}{g}.
\]
Максимальная дальность при \(\alpha=45^\circ\) только при одинаковых высотах старта и финиша и без сопротивления воздуха.
Горизонтальный бросок
С высоты \(h\) со скоростью \(v_0\):
\[
t=\sqrt{\frac{2h}{g}},
\]
\[
L=v_0\sqrt{\frac{2h}{g}}.
\]
Пример 1. Бросок под \(30^\circ\)
\(v_0=20\) м/с, \(g=10\) м/с².
\[
T=\frac{2\cdot20\cdot0{,}5}{10}=2\ \text{с}.
\]
\[
H=\frac{400\cdot0{,}25}{20}=5\ \text{м}.
\]
\[
L=\frac{400\sin60^\circ}{10}=20\sqrt3\approx34{,}6\ \text{м}.
\]
Пример 2. Горизонтальный бросок
Камень брошен горизонтально \(10\) м/с с высоты \(20\) м, \(g=10\).
\[
t=\sqrt{\frac{40}{10}}=2\ \text{с}.
\]
\[
L=10\cdot2=20\ \text{м}.
\]
Перед ударом:
\[
v_x=10,
\]
\[
v_y=-20.
\]
\[
v=\sqrt{10^2+20^2}=10\sqrt5\approx22{,}4\ \text{м/с}.
\]
Пример 3. Два угла одной дальности
Так как
\[
\sin2\alpha=\sin(180^\circ-2\alpha),
\]
углы \(\alpha\) и \(90^\circ-\alpha\) дают одинаковую дальность в идеальной модели.
Например, \(30^\circ\) и \(60^\circ\).
Сопротивление воздуха
С сопротивлением:
- траектория не парабола;
- дальность уменьшается;
- угол максимальной дальности обычно меньше \(45^\circ\);
- движение вверх и вниз несимметрично.
Ошибки
- Считать, что горизонтальная скорость падающего тела уменьшается без сопротивления.
- Использовать дальность \(v_0^2\sin2\alpha/g\) при разных высотах.
- Путать угол скорости с углом траектории в любой момент.
- Использовать одно скалярное уравнение вместо проекций.
Самопроверка
- Чему равно горизонтальное ускорение идеального снаряда?
- При каких двух углах одинаковая дальность?
- В верхней точке броска под углом равна ли полная скорость нулю?