Шпаргалки / Физика / Квантовая физика

02. Формализм квантовой механики

Формализм квантовой механики

Уровень: университет

Состояние

Чистое состояние задаётся нормированным вектором \(|\psi\rangle\) в комплексном гильбертовом пространстве. Физически состояния, отличающиеся общей фазой, эквивалентны:

\[ |\psi\rangle \sim e^{i\alpha}|\psi\rangle. \]

В координатном представлении:

\[ \psi(x,t)=\langle x|\psi(t)\rangle. \]

Нормировка

\[ \langle\psi|\psi\rangle=1. \]
\[ \int|\psi(x,t)|^2dx=1. \]

Правило Борна

Вероятность найти частицу в \([a,b]\):

\[ P(a<x<b)=\int_a^b|\psi|^2dx. \]

\(|\psi|^2\) — плотность вероятности, а сама \(\psi\) — комплексная амплитуда.

Наблюдаемые

Физической наблюдаемой соответствует эрмитов оператор \(\hat A\).

Собственные состояния:

\[ \hat A|a_n\rangle=a_n|a_n\rangle. \]

Результат идеального измерения — одно из собственных значений \(a_n\).

Вероятность:

\[ P(a_n)=|\langle a_n|\psi\rangle|^2. \]

Среднее и дисперсия

\[ \langle A\rangle=\langle\psi|\hat A|\psi\rangle. \]
\[ (\Delta A)^2 =\langle\hat A^2\rangle-\langle\hat A\rangle^2. \]

Среднее не обязательно является возможным единичным результатом.

Эволюция

\[ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}|\psi\rangle =\hat H|\psi\rangle. \]

Если \(\hat H\) не зависит от времени:

\[ |\psi(t)\rangle=e^{-i\hat Ht/\hbar}|\psi(0)\rangle. \]

Эволюция замкнутой системы унитарна и сохраняет нормировку.

Операторы координаты и импульса

В координатном представлении:

\[ \hat x=x, \]
\[ \hat p=-i\hbar\frac d{dx}. \]

Коммутатор:

\[ [\hat x,\hat p]=i\hbar. \]

Неопределённость

Общее соотношение Робертсона:

\[ \Delta A\,\Delta B \ge \frac12|\langle[\hat A,\hat B]\rangle|. \]

Отсюда:

\[ \Delta x\,\Delta p\ge\frac\hbar2. \]

Это не просто ошибка прибора, а ограничение совместной статистики состояний.

Суперпозиция

Если \(|\psi_1\rangle\) и \(|\psi_2\rangle\) допустимы, то

\[ |\psi\rangle=c_1|\psi_1\rangle+c_2|\psi_2\rangle \]

тоже допустимо после нормировки.

Амплитуды складываются, поэтому возможна интерференция.

Смешанное состояние

Описывается матрицей плотности:

\[ \hat\rho=\sum_ip_i|\psi_i\rangle\langle\psi_i|. \]
\[ \langle A\rangle=\operatorname{Tr}(\rho A). \]

Чистое состояние удовлетворяет

\[ \rho^2=\rho, \]
\[ \operatorname{Tr}\rho^2=1. \]

Измерение и декогеренция

Учебный постулат проекции утверждает переход к состоянию результата измерения. Реальные измерения требуют учёта взаимодействия с прибором и средой. Декогеренция подавляет наблюдаемую интерференцию между макроскопически различимыми альтернативами, но вопрос интерпретации результата имеет отдельные философские варианты.

Самопроверка

  1. Что наблюдаемо: \(\psi\) или \(|\psi|^2\)?
  2. Какой оператор соответствует импульсу в координатном представлении?
  3. Что означает унитарность эволюции?
Ответы 1. Вероятности из \(|\psi|^2\) и другие средние; общая фаза \(\psi\) ненаблюдаема. 2. \(-i\hbar d/dx\). 3. Сохраняются нормы и скалярные произведения.