Шпаргалки / Математика / Школа / Алгебра

Многочлен

Определение

Многочлен — это выражение вида:

\[ P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0 \]
  • \(a_i\) — коэффициенты (обычно числа)
  • \(n\) — степень многочлена (максимальная степень x с ненулевым коэффициентом)

Основные свойства

  1. Сложение и вычитание: складываются или вычитаются одноимённые степени.
  2. Умножение: осуществляется по распределительному закону.
  3. Степень произведения: \(\deg(P \cdot Q) = \deg P + \deg Q\).
  4. Коэффициенты:
    • старший коэффициент = \(a_n\)
    • свободный член = \(a_0\)

Деление многочленов (уголком)

  1. Располагаем делимое и делитель по убыванию степеней.
  2. Старший член делимого делим на старший член делителя, получая первый член частного.
  3. Умножаем делитель на этот член частного, вычитаем результат из делимого.
  4. Повторяем процесс до конца.
  5. Результат:
\[ P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x), \quad \deg(R) < \deg(D) \]

Пример 1:

\[ x^3-6x^2+11x-6 = (x-1)(x^2-5x+6) = (x-1)(x-2)(x-3) \]

Пример 2:
Делим \(x^3-6x^2+11x-6\) на \((x-1)\):

  1. Старший член: \(\frac{x^3}{x} = x^2\) → первый член частного.
  2. Умножаем \((x-1) \cdot x^2 = x^3 - x^2\), вычитаем:
\[ (x^3 -6x^2) - (x^3 - x^2) = -5x^2 \]
  1. Спускаем \(+11x\), получаем \(-5x^2 +11x\), делим \(\frac{-5x^2}{x} = -5x\), умножаем, вычитаем, продолжаем.
  2. После всех шагов получаем:
\[ x^3-6x^2+11x-6 = (x-1)(x^2-5x+6) \]
  1. \(x^2-5x+6\) раскладываем на множители:
\[ x^2-5x+6 = (x-2)(x-3) \]

Итого:

\[ x^3-6x^2+11x-6 = (x-1)(x-2)(x-3) \]

Теорема Безу

Если многочлен \(P(x)\) делится на \((x-a)\), остаток при делении равен \(P(a)\):

\[ P(x) = (x-a) \cdot Q(x) + P(a) \]
  • \(P(x)\) — делимое
  • \(Q(x)\) — частное
  • \(P(a)\) — остаток

Следствие:

  • Если \(P(a)=0\), \((x-a)\) является делителем \(P(x)\).
  • Проверка делимости \((x-a)\) сводится к подстановке \(x=a\) в \(P(x)\).

Нахождение делителя

  1. Определить кандидатов для \(a\).
    • Обычно проверяются целые числа, которые делят свободный член \(a_0\) (теорема о рациональных корнях).
    • Пример: для \(P(x) = 2x^3 - 3x^2 - 8x + 12\), свободный член = 12. Кандидаты: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12, ±1/2, ±3/2, ±6/2.
  2. Подставить каждого кандидата в \(P(x)\).
    • Если \(P(a) = 0\), \((x-a)\) — делитель.
    • Если \(P(a) \neq 0\), проверяется следующий кандидат.

  3. Когда найден первый делитель \((x-a)\), деление многочлена на него выполняется уголком, получая частное \(Q(x)\).

  4. По той же схеме продолжается поиск делителей для \(Q(x)\) до полного разложения многочлена на линейные или неприводимые множители.

Пример

\[ P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6 \]

Шаг 1: кандидаты для \(a\)

  • Свободный член = 6 → кандидаты: ±1, ±2, ±3, ±6

Шаг 2: проверка кандидатов

  • \(P(1) = 1-4+1+6=4 \neq 0\)
  • \(P(-1) = -1-4-1+6=0\) → \((x+1)\) является делителем

Шаг 3: деление уголком

\[ P(x) ÷ (x+1) = x^2 - 5x + 6 \]

Шаг 4: разложение квадрата

\[ x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) \]

Итог:

\[ x^3 - 4x^2 + x + 6 = (x+1)(x-2)(x-3) \]

Советы

  • Начинать с целых делителей свободного члена ускоряет процесс.
  • После нахождения одного линейного множителя выполняется деление уголком для продолжения разложения.
  • Теорема Безу применима к многочленам с любыми коэффициентами: целыми, рациональными или действительными.
  • Для сложных многочленов допускается использование вычислительных средств, однако принцип остаётся прежним: подстановка и проверка остатка.

Способы разложения многочленов на множители

  1. Вынесение общего множителя за скобку
    \(6x^3 + 9x^2 = 3x^2(2x+3)\)
  2. Метод группировки
    \(ax + ay + bx + by = (ax + ay) + (bx + by) = (a + b)(x + y)\)
  3. Формулы сокращённого умножения
    \(x^2-16=(x-4)(x+4), \quad x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)\)
  4. Деление многочленов уголком / Теорема Безу
    \(x^3-6x^2+11x-6 = (x-1)(x^2-5x+6)=(x-1)(x-2)(x-3)\)
  5. Квадратный трёхчлен
    \(2x^2+7x+3=(2x+1)(x+3)\)
  6. Подстановка (замена переменной)
    • Упрощение многочленов высокой степени:
      1. Выбирается выражение \(y = x^n\) или \(y = x + k\), чтобы многочлен стал квадратным или кубическим по \(y\).
      2. Многочлен разлагается по \(y\) стандартными методами (квадратный трёхчлен, формулы сокращённого умножения).
      3. Возврат к исходной переменной \(x\) посредством подстановки \(y = x^n\).
      4. При необходимости продолжается разложение получившихся множителей на линейные или квадратичные.
    \[ \begin{aligned} x^4 - 5x^2 + 4 \overset{y=x^2}{\longrightarrow} y^2 - 5y + 4 = (y-1)(y-4) \longrightarrow\\ (x^2-1)(x^2-4) &= (x-1)(x+1)(x-2)(x+2) \end{aligned} \]
  7. Разложение одинаковых степеней (кубы и выше)
    \(x^5-32=(x-2)(x^4+2x^3+4x^2+8x+16)\)
  8. Разложение через симметричные многочлены
    \(x^4+x^3+x+1 = (x+1)^2(x^2-x+1)\)
  9. Разложение через комплексные числа
    \(x^2+1=(x-i)(x+i)\)
  10. Факторизация по модулю p
    \(x^2+1 \equiv (x-2)(x-3) \pmod 5\)