Шпаргалки / Физика / Электродинамика

08. Магнитное поле токов и сила Ампера

Магнитное поле токов и сила Ампера

Уровень: база → первый курс

Закон Био—Савара

Элемент тока создаёт поле:

\[ d\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I\,d\vec l\times\hat r}{r^2}. \]

Полное поле получают интегрированием.

Прямой провод

Для бесконечно длинного провода:

\[ B=\frac{\mu_0I}{2\pi r}. \]

Линии поля — окружности вокруг провода. Направление по правилу правой руки.

Круговой виток

В центре:

\[ B=\frac{\mu_0I}{2R}. \]

Для \(N\) витков умножить на \(N\).

Длинный соленоид

Внутри:

\[ B\approx\mu_0nI, \]

где

\[ n=\frac NL. \]

С сердечником в линейном режиме:

\[ B\approx\mu nI. \]

Закон Ампера

\[ \oint\vec B\cdot d\vec l=\mu_0I_{\text{охв}}. \]

В магнитостатике полезен при симметрии.

В полной электродинамике добавляется ток смещения.

Сила Ампера

На элемент проводника:

\[ d\vec F=I\,d\vec l\times\vec B. \]

Для прямого участка в однородном поле:

\[ F=BIl\sin\alpha. \]

Параллельные токи

Два длинных параллельных провода:

\[ \frac FL=\frac{\mu_0I_1I_2}{2\pi d}. \]

Токи в одном направлении притягиваются, в противоположных — отталкиваются.

Магнитный диполь

Момент витка:

\[ \vec\mu=IS\vec n. \]

Момент сил:

\[ \vec\tau=\vec\mu\times\vec B. \]

Потенциальная энергия:

\[ U=-\vec\mu\cdot\vec B. \]

Устойчиво диполь ориентируется вдоль поля.

Магнитный поток

\[ \Phi_B=\int\vec B\cdot d\vec S. \]

Для однородного поля:

\[ \Phi_B=BS\cos\alpha. \]

Закон Гаусса для магнетизма:

\[ \oint\vec B\cdot d\vec S=0. \]

Магнитных монополей в классической наблюдаемой природе не обнаружено; линии \(\vec B\) замкнуты.

Магнитные материалы

  • диамагнетики: слабое поле против внешнего;
  • парамагнетики: слабое усиление вдоль поля;
  • ферромагнетики: домены, гистерезис и сильная нелинейность.

Для ферромагнетика \(B=\mu H\) с постоянной \(\mu\) обычно лишь грубое приближение.

Пример 1. Сила на провод

\(B=0{,}3\) Тл, \(I=4\) А, \(l=0{,}5\) м, перпендикулярно:

\[ F=0{,}6\ \text{Н}. \]

Пример 2. Поле провода

\(I=10\) А, \(r=0{,}05\) м:

\[ B=\frac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot10}{2\pi\cdot0{,}05} =4\cdot10^{-5}\ \text{Тл}. \]

Пример 3. Момент рамки

\(N\) витков:

\[ \mu=NIS. \]

Максимальный момент:

\[ \tau_{\max}=NISB. \]

Это основа электродвигателя и измерительных механизмов.

Ошибки

  • Мерить угол потока от плоскости, а не от нормали.
  • Считать поле прямого провода радиальным.
  • Использовать закон Ампера для произвольной геометрии как простую формулу.
  • Считать ферромагнитную проницаемость постоянной во всех режимах.

Самопроверка

  1. Как направлены линии поля прямого провода?
  2. Как взаимодействуют параллельные токи одного направления?
  3. Как ориентируется магнитный диполь в устойчивом равновесии?
Ответы 1. По окружностям вокруг провода. 2. Притягиваются. 3. Магнитный момент вдоль поля.