Ряд Тейлора — это разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.

Многочлен Тейлора

Многочлен Тейлора степени n для функции $f(x)$ с центром в точке a — это частичная сумма ряда Тейлора, который представляет функцию в виде суммы её производных, взятых в одной точке.

Ряд Фурье

1. Идея ряда Фурье

Что это: Любую периодическую функцию $f(x)$ можно представить как сумму простых гармонических колебаний — синусов и косинусов разной частоты и амплитуды.

• Каждая гармоника = базовая “волна”
• Сумма этих волн = исходная функция

Почему важно:

• Упрощает анализ сложных волн
• Позволяет решать задачи в физике, электротехнике, механике
• Можно приблизить любую функцию с нужной точностью, взяв достаточно гармоник

В голове: сложная волна = большие медленные колебания + мелкие быстрые “рябинки”.

2. Периодическая функция

Функция $f(x)$ периодическая с периодом $T$, если:

• Чаще всего рассматривают $T=2\pi$ для упрощения формул.

Пример: $\sin(x)$, $\cos(x)$, пилообразная функция $x$ на $[-\pi,\pi]$.

Почему важно: ряд Фурье применим только к периодическим функциям (или рассматриваем функцию на периодическом интервале).

3. Формула ряда Фурье

Для функции $f(x)$ с периодом $2\pi$:

• $a_0/2$ — среднее значение функции
• $a_n$ — амплитуда косинусной гармоники
• $b_n$ — амплитуда синусной гармоники

Коэффициенты:

Пример: $f(x) = \cos(x)$

• $a_0=0$, $a_1=1$, $a_{n>1}=0$, $b_n=0$
• Ряд Фурье = просто $\cos(x)$

4. Как понять коэффициенты

• $a_0$ — средний уровень функции
• $a_n$ и $b_n$ — “вес” каждой гармоники
• Чем выше $n$ — выше частота → мелкие детали функции

В голове: первые гармоники = крупные особенности, большие $n$ = мелкие детали

5. Методы нахождения коэффициентов

1. Сначала $a_0$ (среднее значение):

1. Затем $a_n$ (косинусные компоненты):

1. Затем $b_n$ (синусные компоненты):

1. Составляем ряд Фурье:

6. Пример: пилообразная функция $f(x)=x$ на $[-\pi,\pi]$

• $a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x dx = 0$
• $a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \cos(nx) dx = 0$ (нечётная функция)
• $b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx) dx = 2 \frac{(-1)^{n+1}}{n}$

Ряд Фурье:

• Уже 3–4 гармоники дают приблизительное представление графика

7. Свойства ряда Фурье

1. Сходится к функции:
   • В точках непрерывности → к значению функции
   • В точках разрыва → к среднему между левым и правым пределом
2. Линейность:

1. Ортогональность функций:

1. Формула Parseval (энергия функции):

• Смысл: “энергия функции” распределяется по гармоникам

8. Геометрическая визуализация

• Каждая гармоника = вращающаяся стрелка или синусоида
• Сумма гармоник = сложная волна
• Можем нарисовать первые 3–5 гармоник → видно, как они формируют график

Идея: крупные гармоники задают форму, мелкие детали → рябь, шум

9. Примеры простых функций

1. Чётная: $f(x)=x^2$
   • $b_n=0$, $a_0$ и $a_n\neq0$
2. Нечётная: $f(x)=x$
   • $a_n=0$, $b_n\neq0$
3. Комбинация: $f(x)=x+x^2$
   • $a_0, a_n, b_n\neq0$

Числовые и степенные ряды

1. Числовой ряд

Определение:
Числовой ряд — это сумма бесконечной последовательности чисел:

• $a_n$ — члены ряда
• Ряд сходится, если сумма $S = \lim_{n\to\infty} S_n$ существует
• $S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$ — частичная сумма

Пример:

• $1 + \frac12 + \frac14 + \frac18 + \dots$
• Частичная сумма: $S_n = 1 - \frac{1}{2^n}$
• $S = \lim_{n\to\infty} S_n = 1$ → ряд сходится

Почему важно:

• Ряды описывают процессы с бесконечным числом слагаемых, например, дробные приближения, экспоненты, тригонометрию, физические явления.

2. Необходимое условие сходимости

• Если ряд $\sum a_n$ сходится, то $a_n \to 0$ при $n \to \infty$.
• Обратное неверно: $a_n \to 0$ не гарантирует сходимость.

Пример:

• $a_n = \frac{1}{n} \to 0$, но $\sum \frac{1}{n}$ расходится (гармонический ряд).

3. Признаки сходимости числовых рядов

1. Сравнительный признак:
   Если $0 \le a_n \le b_n$ и $\sum b_n$ сходится → $\sum a_n$ тоже сходится

2. Признак Даламбера (отношений):

• $q<1$ → ряд сходится
• $q>1$ → ряд расходится

1. Признак Коши (корней):

• $L<1$ → сходится
• $L>1$ → расходится

1. Альтернирующие ряды (знакочередующиеся):
   • Если $a_n$ положительные, убывающие и $a_n \to 0$, то $\sum (-1)^{n} a_n$ сходится (признак Лейбница)

Пример (гармонический ряд):

• $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ → расходится
• $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}$ → сходится (альтернирующий)

4. Степенной ряд

Определение:
Степенной ряд — это ряд вида:

• $x_0$ — центр ряда
• $c_n$ — коэффициенты
• Часто $x_0=0$ → ряд Тейлора

Пример:

• Экспонента: $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$
• Синус: $\sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Почему важно:

• Позволяет представить функции через простые члены $(x-x_0)^n$
• Удобно для приближения, вычислений и дифференцирования/интегрирования

5. Радиус сходимости степенного ряда

• Существует $R \ge 0$, такой что ряд сходится при $

  x-x_0

  <R$ и расходится при $

  x-x_0

  >R$

• Формулы для вычисления $R$:

  • Даламбер: $R = \lim_{n\to\infty} \left

    \frac{c_n}{c_{n+1}}\right

    $

  • Коши: $R = \frac{1}{\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{

    c_n

    }}$

Пример:

• $e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ → $R = \infty$ → сходится для любого $x$
• $\sum_{n=1}^{\infty} x^n / n$ → $R = 1$

6. Сходимость и свойства степенного ряда

1. Внутри радиуса сходимости: ряд сходится абсолютно и равномерно на любом промежутке $

   x-x_0

   < r < R$

2. На границе: необходимо проверять отдельно
3. Дифференцирование и интегрирование: можно по членам, сохраняется радиус сходимости

Пример:

• $\sum_{n=0}^{\infty} x^n$ → геометрическая прогрессия

• Дифференцируем: $\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2},

  x

  <1$

7. Применение

• Приближения функций
• Вычисление интегралов, особенно сложных
• Решение дифференциальных уравнений
• Физические задачи: колебания, электричество, механика

8. Примеры простых рядов

1. Геометрическая прогрессия:

• Сумма $S = \frac{1}{1-q}$

1. Альтернирующий гармонический ряд:

1. Степенной ряд: