Шпаргалки / Физика / 01. Основы физики

08. Алгебра и пропорции в задачах

Алгебра и пропорции в задачах

Уровень: с нуля

Решать сначала в буквах

Пусть

\[ F=ma. \]

Ищем массу:

\[ m=\frac{F}{a}. \]

Сначала преобразование, потом числа. Это показывает зависимости и уменьшает ошибки.

Прямая пропорциональность

Если

\[ y=kx, \]

то при увеличении \(x\) в \(n\) раз величина \(y\) тоже увеличивается в \(n\) раз.

Пример:

\[ F=ma \]

при постоянной массе даёт \(F\propto a\).

Обратная пропорциональность

Если

\[ y=\frac{k}{x}, \]

то при увеличении \(x\) в \(n\) раз \(y\) уменьшается в \(n\) раз.

Пример:

\[ a=\frac{F}{m} \]

при постоянной силе: \(a\propto1/m\).

Квадратичная зависимость

Если

\[ y=kx^2, \]

то удвоение \(x\) увеличивает \(y\) в четыре раза.

Примеры:

\[ E_k=\frac{mv^2}{2}, \]
\[ F_c=\frac{mv^2}{r}. \]

Корневая зависимость

Если

\[ y=k\sqrt{x}, \]

то увеличение \(x\) в четыре раза увеличивает \(y\) в два раза.

Пример:

\[ T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}. \]

Отношения без вычисления констант

Если

\[ T\propto\sqrt l, \]

то

\[ \frac{T_2}{T_1}=\sqrt{\frac{l_2}{l_1}}. \]

Константы \(2\pi\) и \(g\) сокращаются.

Системы уравнений

Связанные тела часто требуют нескольких уравнений.

Для двух грузов:

\[ F-T=m_2a, \]
\[ T=m_1a. \]

Складывая:

\[ F=(m_1+m_2)a. \]

Квадратные уравнения

В задаче броска:

\[ y=y_0+v_0t-\frac{gt^2}{2}. \]

При заданном \(y\) получается квадратное уравнение по времени. Математически корней может быть два: например, тело проходит одну высоту при подъёме и падении.

Приближённые формулы

При малом \(x\):

\[ (1+x)^n\approx1+nx, \]
\[ \sin x\approx x, \]
\[ \cos x\approx1-\frac{x^2}{2}, \]
\[ e^x\approx1+x. \]

Эти формулы требуют \(|x|\ll1\), а углы должны быть в радианах.

Самопроверка

  1. Как меняется \(E_k\), если скорость увеличилась втрое?
  2. Как меняется период пружины, если масса увеличилась в 9 раз?
  3. Как меняется сила Кулона при удвоении расстояния?
Ответы 1. В 9 раз. 2. В 3 раза. 3. Уменьшается в 4 раза.