Шпаргалки / Математика / Школа / Геометрия

Векторы

1. Что такое вектор

Вектор — это направленный отрезок.
Он имеет длину (модуль) и направление.

Можно задать координатами:

\[ \vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} \]

Если вектор идёт из точки \(A(x_1, y_1, z_1)\) в \(B(x_2, y_2, z_2)\):

\[ \vec{AB} = (x_2 - x_1, \; y_2 - y_1, \; z_2 - z_1) \]

Виды векторов

Свободный вектор

Это вектор, который не привязан к конкретной точке.
Его можно мысленно переносить куда угодно, и он останется тем же самым, если:

  • направление не изменилось
  • длина не изменилась

Свободный вектор полностью определяется только своими компонентами.

\[ \vec{r} = (a, b, c) \]

Он описывает направление и “величину”, а не место в пространстве.

Пример: скорость, сила — важно, какие они по направлению и величине, а не “где” они начались.

Связанный вектор

Это вектор, который обязательно закреплён за некоторой точкой.
Точка начала — часть его определения.

Если ты его перенесёшь в другое место, это уже другой связанный вектор, даже если у них одинаковые компоненты.

Пример: радиус-вектор.

\[ \vec{r} = (x, y, z) \]

Cвязанный вектор задаётся:

  • начальной точкой \(\vec{A}(x1,y1)\)
  • компонентами вектора \((a,b)\)

или двумя точками:

  • \(A(x1,y1)\)
  • \(B(x2,y2)\)

и тогда

\[ \vec{AB} = (x_2 - x_1,\ y_2 - y_1) \]

Единичный (нормированный) вектор

Это вектор, длина которого равна 1.

Он используется для того, чтобы обозначать чистое направление, без указания длины.

Если дан вектор \(\vec v = (a, b)\), то единичный вектор в его направлении:

\[ \hat v = \frac{1}{|\vec v|} (a, b) \]

Где

\[ |\vec v| = \sqrt{a^2 + b^2} \]

Равенство и противоположность

  • \(\vec{a} = \vec{b}\), если равны по длине и направлению.
  • \(\vec{a} = -\vec{b}\), если равны по длине, но направления противоположные.

2. Основные операции с векторами

Сумма и разность

\[ \vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \\ \vdots \\ u_n + v_n \end{pmatrix} \]
\[ \vec{u} - \vec{v} = \begin{pmatrix} u_1 - v_1 \\ u_2 - v_2 \\ \vdots \\ u_n - v_n \end{pmatrix} \]

Геометрический смысл:

  • Сумма — диагональ параллелограмма, построенного на векторах.
  • Разность — вектор от конца \(v\) к концу \(u\).

Умножение на скаляр

\[ c \vec{v} = \begin{pmatrix} c v_1 \\ c v_2 \\ \vdots \\ c v_n \end{pmatrix} \]

Смысл:

  • \(c > 0\) — направление то же.
  • \(c < 0\) — направление противоположное.
  • \(|c| > 1\) — растягивает.
  • \(0 < |c| < 1\) — сжимает.

Используется, когда нужно увеличить или уменьшить силу, скорость и т.п.

3. Длина (норма) вектора

\[ \|\vec{v}\| = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \dots + v_n^2} \]

Что показывает: насколько “длинный” вектор — например, скорость 5 м/с имеет длину 5.

Нормализация

\[ \hat{\mathbf{v}} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|} = \frac{(x, y, z)}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \]

Что это: делим каждую компоненту вектора на его длину.
После нормализации вектор становится единичным, то есть его длина = 1, а направление сохраняется.

Зачем это нужно:

  • Чтобы оставить только “направление” без масштаба.
  • Применяется, когда важно “куда”, а не “насколько далеко”.
  • Например, для расчёта направления силы, света, нормали в 3D-графике.

4. Скалярное произведение

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + \dots + u_n v_n \]

Сумма попарного произведения координат векторов.

Геометрически:

\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| |\vec{v}| \cos\theta \]

Произведение длин векторов на косинус угла между ними.

Смысл:
Показывает, насколько два вектора “смотрят” в одну сторону.

  • \(= 0\) → перпендикулярны
  • \(> 0\) → угол острый
  • \(< 0\) → угол тупой

Применяется для нахождения углов, проекций, энергии (работа = F·S).

5. Угол между векторами

\[ \cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|} \]
  • \(\cos\theta = 1\) → векторы совпадают
  • \(\cos\theta = 0\) → перпендикулярны
  • \(\cos\theta = -1\) → противоположны

6. Проекции

Векторная проекция \(\vec{a}\) на \(\vec{b}\)

\[ \text{proj}_{\vec{b}}(\vec{a}) = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2} \vec{b} \]

Если \(\vec{b}\) — единичный, то проще:

\[ \text{proj}_{\hat{b}}(\vec{a}) = (\vec{a}\cdot\hat{b}) \hat{b} \]

Смысл: это “тень” одного вектора на другом.

Скалярная (длина проекции)

\[ |\text{proj}_{\vec{b}}(\vec{a})| = |\vec{a}| \cos\theta \]

7. Векторное произведение (только в 3D)

\[ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} = (a_2b_3 - a_3b_2, \; a_3b_1 - a_1b_3, \; a_1b_2 - a_2b_1) \]

Свойства:

  • Результат — вектор, перпендикулярный обоим.
  • Модуль:
\[ |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin\theta \]
  • Направление — по правилу правой руки.
  • Если векторы параллельны → произведение = 0.

Используется для нахождения нормали, моментов сил, площадей и ориентации.

Свойства векторного произведения

  • Антикоммутативность: \(\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})\)
  • Дистрибутивность: \(\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}\)

8. Смешанное произведение (объём параллелепипеда)

\[ [\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) \]

Объём:

\[ V = |[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]| \]

Смысл:

  • Это объём параллелепипеда, построенного на трёх векторах.
  • Если результат = 0 → векторы компланарны (лежат в одной плоскости).
  • Знак показывает ориентацию (правая/левая тройка векторов).

9. Правило параллелепипеда

  • Сумма векторов — диагональ параллелограмма.
  • Векторное произведение — перпендикуляр к плоскости двух векторов.
  • Смешанное произведение — объём параллелепипеда.

Это визуальные правила, которые помогают понимать геометрию векторов.

10. Коллинеарность и компланарность

  • Коллинеарны: если \(\vec{a} = k\vec{b}\)
    (лежат на одной прямой или параллельны)

  • Компланарны: если \([\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = 0\)
    (лежат в одной плоскости)

11. Уравнения прямой и плоскости

Прямая в пространстве

Если прямая проходит через точку \(A(x_0, y_0, z_0)\) и имеет направляющий вектор \(\vec{s} = (l, m, n)\):

\[ \begin{cases} x = x_0 + lt \\ y = y_0 + mt \\ z = z_0 + nt \end{cases} \]

\(t\) — параметр, двигая который, получаем все точки на прямой.

Плоскость в пространстве

Если известна точка \(A(x_0, y_0, z_0)\) и нормальный вектор \(\vec{n} = (A, B, C)\):

\[ A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \]

или в общем виде:

\[ A x + B y + C z + D = 0 \]

Векторное уравнение плоскости

\[ \vec{n} \cdot (\vec{r} - \vec{r_0}) = 0 \]

12. Расстояния

  • От точки до плоскости:
\[ d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]
  • Между параллельными плоскостями:
\[ d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \]

13. Направляющие косинусы

Для вектора \(\vec{a} = (x, y, z)\):

\[ \cos\alpha = \frac{x}{|\vec{a}|}, \quad \cos\beta = \frac{y}{|\vec{a}|}, \quad \cos\gamma = \frac{z}{|\vec{a}|} \]

и

\[ \cos^2\alpha + \cos^2\beta + \cos^2\gamma = 1 \]

Эти косинусы показывают, как вектор направлен относительно осей X, Y, Z.

14. Проекция вектора

Векторная проекция \(\vec{a}\) на вектор \(\vec{b}\):

\[ \text{proj}_{\vec{b}}(\vec{a}) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \vec{b} \]

Если \(\vec{b}\) — единичный вектор:

\[ \text{proj}_{\hat{b}}(\vec{a}) = (\vec{a} \cdot \hat{b}) \hat{b} \]

Длина (скалярная проекция):

\[ |\text{proj}_{\vec{b}}(\vec{a})| = |\vec{a}| \cos\theta \]

Практика:

  • Проекция — это “тень” одного вектора на другой.
  • Используется для:
    • Определения составляющей силы вдоль направления движения.
    • Вычисления диагоналей и компонент векторов.
    • Проверки ортогональности: если проекция = 0, векторы перпендикулярны.
  • В программировании и физике: помогает разбивать движение или силу на удобные координаты.