Шпаргалки / Физика / Релятивистская физика

02. Релятивистская динамика

Релятивистская динамика

Уровень: университет

Четырёхскорость

\[ U^\mu=\frac{dx^\mu}{d\tau}. \]

В компонентах:

\[ U^\mu=\gamma(c,\vec v). \]

Четырёхимпульс

\[ P^\mu=mU^\mu= \left(\frac Ec,\vec p\right). \]
\[ \vec p=\gamma m\vec v, \]
\[ E=\gamma mc^2. \]

Инвариант:

\[ P^\mu P_\mu=m^2c^2. \]

Отсюда:

\[ E^2=p^2c^2+m^2c^4. \]

Энергия покоя и кинетическая

\[ E_0=mc^2. \]
\[ K=(\gamma-1)mc^2. \]

При \(v\ll c\):

\[ \gamma\approx1+\frac{v^2}{2c^2}. \]
\[ K\approx\frac{mv^2}{2}. \]

Классическая энергия получается как предел.

Безмассовые частицы

Для \(m=0\):

\[ E=pc. \]

Фотон не имеет системы покоя и движется в вакууме со скоростью \(c\).

Сохранение

В замкнутой системе сохраняется четырёхимпульс:

\[ \sum P^\mu_{\text{до}}= \sum P^\mu_{\text{после}}. \]

Это одновременно сохранение энергии и трёхмерного импульса.

Инвариантная масса системы

Даже система фотонов может иметь ненулевую инвариантную массу:

\[ M^2c^4=E_{\Sigma}^2-c^2P_{\Sigma}^2. \]

Два встречных фотона одинаковой энергии имеют нулевой суммарный импульс и ненулевую массу системы.

Рождение частиц и пороги

Энергии покоя могут возникать из кинетической энергии, но должны сохраняться импульс и квантовые числа.

Один фотон не может создать пару \(e^-e^+\) в пустом вакууме, одновременно сохранив энергию и импульс. Нужен второй объект или фотон.

Минимальная энергия пары по массе:

\[ 2m_ec^2=1{,}022\ \text{МэВ}, \]

но лабораторный порог реакции может быть выше из-за отдачи.

Сила и ускорение

\[ \vec F=\frac{d\vec p}{dt}. \]

Ускорение не всегда параллельно силе в простом ньютоновском смысле из-за зависимости импульса от скорости.

Для продольной силы:

\[ F_\parallel=\gamma^3ma_\parallel. \]

Для поперечной:

\[ F_\perp=\gamma ma_\perp. \]

Пример 1. Кинетическая энергия

\(v=0{,}8c\), \(\gamma=5/3\):

\[ K=\left(\frac53-1\right)mc^2 =\frac23mc^2. \]

Классическая формула дала бы \(0{,}32mc^2\), заметно меньше.

Пример 2. Фотон

Фотон энергии \(3\) эВ:

\[ p=\frac Ec=\frac{3\ \text{эВ}}c. \]

Также

\[ \lambda=\frac{hc}{E}\approx413\ \text{нм}. \]

Ошибки

  • Использовать «релятивистскую массу» как необходимость; современнее сохранять инвариантную массу и использовать \(E,p\).
  • Считать \(E=mc^2\) полной формулой для движущегося тела без \(\gamma\).
  • Игнорировать импульс при порогах реакций.
  • Считать фотоны имеющими систему покоя.

Самопроверка

  1. Какова связь энергии и импульса?
  2. Что такое энергия покоя?
  3. Почему массивное тело не достигает \(c\) конечной энергией?
Ответы 1. \(E^2=p^2c^2+m^2c^4\). 2. \(mc^2\). 3. \(\gamma\) стремится к бесконечности.