Нормальное (гауссово) распределение
Нормальное распределение — одно из фундаментальных распределений в статистике. Показывает, как значения случайной величины распределяются вокруг среднего.
1. Определение
Нормальное распределение — распределение, где:
- большинство значений сосредоточено около среднего,
- с удалением от среднего вероятность быстро падает,
- график формы колокола, симметричный относительно среднего.
2. Плотность вероятности
Для случайной величины $X$ со средним $\mu$ и стандартным отклонением $\sigma$:
\[
f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp\Big( -\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \Big)
\]
- $f(x)$ — вероятность значения около $x$
- $\mu$ — среднее значение
- $\sigma$ — стандартное отклонение (ширина колокола)
3. Основные свойства
- Симметрия относительно среднего $\mu$
- Среднее = Медиана = Мода
- Правило 68-95-99.7:
- ~68% данных в $[\mu-\sigma, \mu+\sigma]$
- ~95% данных в $[\mu-2\sigma, \mu+2\sigma]$
- ~99.7% данных в $[\mu-3\sigma, \mu+3\sigma]$
4. Применение
- Моделирование естественных процессов: рост людей, IQ, ошибки измерений
- Статистические тесты и доверительные интервалы
- Контроль качества, финансы, экономика, наука
5. Стандартизация (Z-преобразование)
Чтобы работать с нормальным распределением через таблицы стандартного нормального распределения:
\[
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}
\]
- $Z$ — отклонение от среднего в единицах стандартного отклонения
- Используется для оценки вероятности попадания значения в диапазон
6. Визуализация
- Центр колокола — среднее $\mu$
- Ширина колокола — стандартное отклонение $\sigma$
- Хвосты — редкие значения