Нормальное (гауссово) распределение
Нормальное распределение — одно из фундаментальных распределений в статистике. Показывает, как значения случайной величины распределяются вокруг среднего.
1. Определение
Нормальное распределение — распределение, где:
- большинство значений сосредоточено около среднего,
- с удалением от среднего вероятность быстро падает,
- график формы колокола, симметричный относительно среднего.
2. Плотность вероятности
Для случайной величины \(X\) со средним \(\mu\) и стандартным отклонением \(\sigma\):
\[
f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \exp\Big( -\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \Big)
\]
- \(f(x)\) — вероятность значения около \(x\)
- \(\mu\) — среднее значение
- \(\sigma\) — стандартное отклонение (ширина колокола)
3. Основные свойства
- Симметрия относительно среднего \(\mu\)
- Среднее = Медиана = Мода
- Правило 68-95-99.7:
- ~68% данных в \([\mu-\sigma, \mu+\sigma]\)
- ~95% данных в \([\mu-2\sigma, \mu+2\sigma]\)
- ~99.7% данных в \([\mu-3\sigma, \mu+3\sigma]\)
4. Применение
- Моделирование естественных процессов: рост людей, IQ, ошибки измерений
- Статистические тесты и доверительные интервалы
- Контроль качества, финансы, экономика, наука
5. Стандартизация (Z-преобразование)
Чтобы работать с нормальным распределением через таблицы стандартного нормального распределения:
\[
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}
\]
- \(Z\) — отклонение от среднего в единицах стандартного отклонения
- Используется для оценки вероятности попадания значения в диапазон
6. Визуализация
- Центр колокола — среднее \(\mu\)
- Ширина колокола — стандартное отклонение \(\sigma\)
- Хвосты — редкие значения