Шпаргалки / Математика / Школа

Проценты

1. Что такое процент

Процент ( % ) — это одна сотая часть числа.

1\% = \frac{1}{100} = 0{,}01

2. Основные формулы

Что ищем	Формула	Пример
Проценты от числа	$P = \frac{a}{100} \cdot b$	20% от 150 → $\frac{20}{100} \cdot 150 = 30$
Сколько % одно число составляет от другого	$p = \frac{a}{b} \cdot 100\%$	30 от 150 → $\frac{30}{150}\cdot100\% = 20\%$
Число по известным %	$b = \frac{a \cdot 100}{p}$	30 — это 20% от x → $x = \frac{30\cdot100}{20} = 150$
Увеличение на p%	$x_{нов} = x \cdot (1 + \frac{p}{100})$	200 ↑ на 15% → $200\cdot1{,}15=230$
Уменьшение на p%	$x_{нов} = x \cdot (1 - \frac{p}{100})$	200 ↓ на 15% → $200\cdot0{,}85=170$

3. Изменение процентов (двойные изменения)

Если что-то увеличили на p₁%, а потом ещё на p₂%,
то итоговое изменение не просто p₁ + p₂, а:

1 + \frac{p_{общ}}{100} = (1 + \frac{p_1}{100})(1 + \frac{p_2}{100})

Пример:
цена выросла на 10%, потом ещё на 20%
→ итог: $(1{,}1 \cdot 1{,}2 = 1{,}32)$ → рост на 32%

4. Обратные проценты

Если число увеличили на p%,
чтобы вернуться к исходному, нужно уменьшить не на p%, а на большее число.

x_{исх} = \frac{x_{нов}}{1 + \frac{p}{100}}

Пример:
было 100, стало 120 (рост на 20%).
Чтобы вернуться к 100:
$$120 : 1{,}2 = 100$$
То есть уменьшить нужно на 16,7%, а не на 20%.

5. Проценты в сложных случаях

Процентное содержание (концентрация)

C = \frac{m_{вещества}}{m_{раствора}} \cdot 100\%

Средний процент (среднее по долям)

p_{ср} = \frac{p_1 \cdot w_1 + p_2 \cdot w_2 + \dots}{w_1 + w_2 + \dots}

где $$w_i$$ — вес, объём или количество элементов.

6. Рост и падение подряд

Действие	Формула	Комментарий
Рост на p%	× $$(1 + p/100)$$	множим
Падение на p%	× $$(1 - p/100)$$	множим
Последовательно несколько действий	перемножаем множители	порядок неважен

Пример:
цена сначала ↑ на 25%, потом ↓ на 20%

1{,}25 \cdot 0{,}8 = 1{,}0 \Rightarrow \text{вышло без изменений!}

7. Проценты и доли

Название	Формула	Пример
Доля	$\frac{часть}{целое}$	$\frac{30}{150}=0{,}2$
Процент	$\frac{часть}{целое}\cdot100\%$	$0{,}2\cdot100\%=20\%$
Процент в десятичной форме	$\frac{p}{100}$	$15\% = 0{,}15$

8. Ключевые слова

Термин	Что значит
Процент	сотая часть числа
Процентное отношение	во сколько раз одно число больше или меньше другого
Процентное изменение	на сколько % увеличилось или уменьшилось
Процент прироста	$\frac{Δx}{x_0} \cdot 100\%$
Процент снижения	$\frac{x_0 - x}{x_0} \cdot 100\%$
Базисный процент	относительно первоначального
Цепной процент	относительно предыдущего шага
Сложные проценты	когда проценты начисляются на уже изменённую сумму

9. Сложные проценты (проценты на проценты)

S = S_0 \cdot (1 + \frac{p}{100})^n

где

$$S_0$$ — начальная сумма
$$p$$ — процентная ставка
$$n$$ — количество периодов

Пример:
1000 руб под 10% на 3 года →
$1000 \cdot (1{,}1)^3 = 1331$

1. Что такое сложные проценты

Когда проценты начисляются не один раз в конце, а периодически — каждый раз на уже увеличенную сумму,
это и есть сложные проценты.

S = S_0 \left(1 + \frac{p}{100n}\right)^{n t}

где

$$S_0$$ — начальная сумма,
$$p$$ — годовая процентная ставка (в %),
$$n$$ — количество начислений в год,
$$t$$ — время в годах.

2. Предельный случай — бесконечное начисление

Если проценты начислять всё чаще и чаще, т.е. $n \to \infty$ ,
то формула превращается в непрерывное начисление процентов,
и тут появляется число Эйлера $$e$$ :

\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \approx 2{,}71828

3. Формула непрерывных (бесконечно частых) процентов

Если начисление происходит непрерывно, формула принимает вид:

S = S_0 \cdot e^{rt}

где

$$S_0$$ — начальная сумма,
$$r$$ — ставка в долях (например, 10% = 0.1),
$$t$$ — время в годах,
$$e$$ — число Эйлера, примерно $$2{,}71828...$$ .

4. Пример

1000 руб под 10% годовых, непрерывно начисляемые, на 3 года:

S = 1000 \cdot e^{0{,}1 \cdot 3} = 1000 \cdot e^{0{,}3} \approx 1000 \cdot 1{,}34986 = 1349{,}86

Если бы проценты начислялись раз в год (обычные сложные), было бы:

1000 \cdot (1{,}1)^3 = 1331

→ чуть меньше, чем при непрерывных.

5. Смысл и связь с реальностью

При обычных сложных процентах мы добавляем процент к проценту по шагам.
При непрерывных — процесс идёт постоянно, без перерывов,
как будто каждая копейка мгновенно начинает “работать” сама на себя.

Именно это отражает экспоненциальный рост через число $$e$$ .

6. Общая связь

Тип начисления	Формула	Комментарий
Простые проценты	$$S = S_0(1 + rt)$$	линейный рост
Сложные проценты (дискретные)	$S = S_0(1 + \frac{r}{n})^{nt}$	рост по ступеням

Непрерывные проценты

S = S_0 e^{rt}

плавный, непрерывн

10. Как решать задачи на проценты

Перевести всё в один тип: доли, проценты или десятичные.
Составить уравнение или пропорцию.
Ввести переменную (чаще — исходное число).
Выразить и решить.
Проверить логикой: увеличение — число должно стать больше, уменьшение — меньше.

1. Закон сохранения вещества

При смешивании количество чистого вещества сохраняется:

m_1 p_1 + m_2 p_2 = (m_1 + m_2)\, p_3

где

$$m_1, m_2$$ — массы исходных сплавов,
$$p_1, p_2$$ — их концентрации (в процентах или долях),
$$p_3$$ — концентрация полученного сплава.

2. Если массы одинаковые

Тогда концентрация результата — это обычное среднее арифметическое:

p_3 = \frac{p_1 + p_2}{2}

Это работает только при $$m_1 = m_2$$ .

3. Если массы разные

Из общего уравнения получается:

\[ m_1 (p_1 - p_3) = m_2 (p_3 - p_2) \]

Этим удобно находить:

итоговую концентрацию,
сколько нужно взять каждого сплава,
отношение масс.

4. Правило «крестовины»

Быстрое нахождение отношения масс:

\frac{m_1}{m_2} = \frac{p_3 - p_2}{p_1 - p_3}

Работает, когда $$p_1 > p_3 > p_2$$ (или все наоборот).

5. Итоговая концентрация при разных массах

Это взвешенное среднее:

p_3 = \frac{m_1 p_1 + m_2 p_2}{m_1 + m_2}

6. Мини-примеры

✔ Равные массы

40% и 20%, массы равны:

p_3 = \frac{40 + 20}{2} = 30\%

✔ Разные массы — отношение

60% и 20%, получить 40%:

\frac{m_1}{m_2} = \frac{40 - 20}{60 - 40} = 1

✔ Разные массы — итоговый процент

p_3 = \frac{m_1 p_1 + m_2 p_2}{m_1 + m_2}

Универсальный паттерн

Все процентные задачи сводятся к одной формуле:

Результат = Целое \times (1 \pm \frac{p}{100})

или

Процент = \frac{Часть}{Целое} \times 100\%

Мини-шпаргалка

Формула	Что делает
$a = b \cdot \frac{p}{100}$	найти проценты от числа
$p = \frac{a}{b}\cdot100\%$	найти, сколько % одно число от другого
$b = \frac{a\cdot100}{p}$	найти число по его проценту
$x_{нов} = x(1 + \frac{p}{100})$	увеличение на p%
$x_{нов} = x(1 - \frac{p}{100})$	уменьшение на p%
$S = S_0(1 + \frac{p}{100})^n$	сложные проценты

Действие	Формула	Комментарий
Рост на p%	× $\((1 + p/100)\)$	множим
Падение на p%	× $\((1 - p/100)\)$	множим
Последовательно несколько действий	перемножаем множители	порядок неважен

Тип начисления	Формула	Комментарий
Простые проценты	$\(S = S_0(1 + rt)\)$	линейный рост
Сложные проценты (дискретные)	$S = S_0(1 + \frac{r}{n})^{nt}$	рост по ступеням