Шпаргалки / Физика / Колебания и волны

02. Затухание, вынужденные колебания и резонанс

Затухание, вынужденные колебания и резонанс

Уровень: первый курс

Затухающий осциллятор

При линейном сопротивлении \(-b\dot x\):

\[ m\ddot x+b\dot x+kx=0. \]

Обозначим

\[ \omega_0=\sqrt{\frac km}, \]
\[ \beta=\frac b{2m}. \]

Слабое затухание

Если \(\beta<\omega_0\):

\[ x=A_0e^{-\beta t}\cos(\omega_dt+\varphi), \]
\[ \omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}. \]

Амплитуда экспоненциально уменьшается.

Критическое затухание

\[ \beta=\omega_0. \]

Система возвращается к равновесию максимально быстро без колебаний.

Сильное затухание

\[ \beta>\omega_0. \]

Возврат медленный и апериодический.

Логарифмический декремент

Для слабого затухания:

\[ \delta=\ln\frac{A_n}{A_{n+1}}=\beta T_d. \]

Добротность

\[ Q\approx\frac{\omega_0}{2\beta} \]

при слабом затухании.

Также

\[ Q=2\pi\frac{\text{энергия, запасённая}}{\text{потеря энергии за цикл}}. \]

Вынужденные колебания

\[ m\ddot x+b\dot x+kx=F_0\cos\omega t. \]

После затухания переходного процесса остаётся установившееся движение с частотой внешней силы:

\[ x=A(\omega)\cos(\omega t-\phi). \]

Амплитуда:

\[ A(\omega)= \frac{F_0/m} {\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2+(2\beta\omega)^2}}. \]

Резонанс

При слабом затухании амплитуда максимальна около \(\omega_0\).

Точная частота максимума смещения:

\[ \omega_r=\sqrt{\omega_0^2-2\beta^2}. \]

Резонанс энергии и мощности имеет свои точные условия.

Сдвиг фаз

\[ \tan\phi=\frac{2\beta\omega}{\omega_0^2-\omega^2}. \]
  • низкие частоты: смещение почти в фазе с силой;
  • около резонанса: сдвиг около \(\pi/2\);
  • высокие: почти противофаза.

Примеры резонанса

Полезные:

  • настройка радиоприёмника;
  • музыкальные инструменты;
  • МРТ и спектроскопия;
  • кварцевые генераторы.

Опасные:

  • мосты и здания;
  • вращающиеся машины;
  • детали автомобиля;
  • акустическая обратная связь.

Резонанс не означает бесконечную амплитуду в реальной системе: потери и нелинейность ограничивают рост.

Параметрический резонанс

Если периодически меняется параметр системы, например длина маятника или жёсткость:

\[ \ddot x+\omega_0^2[1+h\cos(\Omega t)]x=0. \]

Сильный параметрический резонанс возникает около

\[ \Omega\approx2\omega_0. \]

Так ребёнок раскачивает качели, меняя положение центра масс.

Пример 1. Время затухания

Амплитуда:

\[ A=A_0e^{-0{,}2t}. \]

Когда станет в \(e\) раз меньше:

\[ t=\frac1{0{,}2}=5\ \text{с}. \]

Пример 2. Добротность

Если за цикл теряется \(1\%\) энергии:

\[ Q\approx\frac{2\pi}{0{,}01}\approx628. \]

Ошибки

  • Считать резонанс только совпадением двух любых частот без динамической связи.
  • Игнорировать затухание.
  • Считать установившуюся частоту равной собственной, а не частоте внешнего воздействия.
  • Путать обычный и параметрический резонанс.

Самопроверка

  1. Какой режим даёт самый быстрый возврат без колебаний?
  2. Что определяет ширину резонансной кривой?
  3. На какой частоте колеблется система после переходного процесса при внешней гармонической силе?
Ответы 1. Критическое затухание. 2. Затухание или добротность. 3. На частоте внешней силы.