Шпаргалки / Математика / Школа / Матанализ / Дифференциальное исчисление

Дифференциальные уравнения

1. Что такое дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение (ДУ) — это уравнение, которое связывает неизвестную функцию и её производные.

Если обычное уравнение описывает зависимость между величинами,
то диффур описывает закон изменения величины.

Пример:

\frac{dy}{dx} = 2x

означает, что скорость изменения функции $y(x)$ равна $2x$.

Интегрируя, получаем:

\[ y = x^2 + C \]

Таким образом, диффур описывает процесс, а его решение — саму форму поведения.

2. Где применяются

Область	Пример уравнения	Смысл
Механика	$m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$	колебания, движение
Физика	$\frac{dT}{dt} = -k(T - T_0)$	охлаждение тела
Биология	$\frac{dN}{dt} = rN(1 - \frac{N}{K})$	рост популяции
Химия	$\frac{dC}{dt} = -kC$	распад вещества
Экономика	$\frac{dM}{dt} = pM$	рост капитала

3. Классификация

Критерий	Варианты	Пример
По числу переменных	Обыкновенные (ОДУ), Частные (ЧДУ)	$y’=x+y$; $u_{xx}+u_{yy}=0$
По порядку	Первый, Второй и выше	$y’=x$; $y’‘+y=0$
По линейности	Линейные, Нелинейные	$y’+y=0$; $y’=y^2$
По правой части	Однородные, Неоднородные	$y’+y=0$; $y’+y=1$

4. Основная цель решения

Найти общее решение — формулу для функции $y(x)$,
которая удовлетворяет дифференциальному уравнению.

Если заданы начальные условия, например $y(0)=2$,
то находим частное решение, подходящее именно к этому случаю.

5. Уравнение первого порядка

5.1. Самый простой случай

\frac{dy}{dx} = f(x)

Решение:

y = \int f(x)\,dx + C

Пример:

y' = 2x \quad \Rightarrow \quad y = x^2 + C

Прикладной смысл: если $f(x)$ — скорость, то $y$ — путь.

5.2. Уравнения с разделяющимися переменными

Вид:

\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)

Переносим всё с $y$ влево, с $x$ вправо:

\frac{dy}{g(y)} = f(x)\,dx

Интегрируем обе стороны:

\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)\,dx + C

Пример:

\[ y' = xy \]

\frac{dy}{y} = x\,dx

\ln|y| = \frac{x^2}{2} + C

y = C e^{x^2/2}

Прикладное значение: рост, пропорциональный текущему значению (например, рост бактерий).

5.3. Линейное уравнение первого порядка

Общий вид:

\[ y' + p(x)y = q(x) \]

Метод интегрирующего множителя

Найти множитель:

\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx}

Умножить уравнение на $\mu(x)$:

(\mu y)' = \mu q(x)

Интегрировать:

y = \frac{1}{\mu(x)}\left( \int \mu(x) q(x)\,dx + C \right)

Пример:

\[ y' - 2y = 4 \]

\mu = e^{-2x}

y = -2 + C e^{2x}

Физический пример: охлаждение тела по закону Ньютона:

\frac{dT}{dt} = -k(T - T_0)

где $T_0$ — температура среды. Решение:

T = T_0 + (T_1 - T_0)e^{-kt}

5.4. Однородное уравнение

Вид:

\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)

Подстановка:

y = vx, \quad y' = v + x\frac{dv}{dx}

После подстановки получаем уравнение относительно $v$ и $x$, решаем как уравнение с разделяющимися переменными.

Пример:

y' = \frac{x + y}{x}

Подставляем $y = vx$:

\[ v + x v' = 1 + v \]

\[ x v' = 1 \]

v = \ln|x| + C, \quad y = x(\ln|x| + C)

5.5. Уравнение Бернулли

Вид:

\[ y' + p(x)y = q(x)y^n \]

Замена:

z = y^{1-n} \Rightarrow z' = (1-n)y^{-n}y'

После замены получаем линейное уравнение относительно $z$, решаем методом множителя.

Пример:

\[ y' + y = y^2 \]

Тут $n=2$, замена $z = y^{-1}$:

\[ z' - z = -1 \]

Решаем:

z = 1 + Ce^x, \quad y = \frac{1}{1 + Ce^x}

Прикладное значение: процессы роста или затухания с сопротивлением среды.

6. Уравнения второго порядка

6.1. Уравнение без $y’$

Если $y’’ = f(x)$, то дважды интегрируем:

y' = \int f(x)\,dx + C_1

y = \int y'\,dx = \int f(x)\,dx\,dx + C_1x + C_2

Пример:

y'' = 6x \Rightarrow y = x^3 + C_1x + C_2

Прикладной смысл: ускорение → скорость → положение.

6.2. Линейное однородное с постоянными коэффициентами

Вид:

\[ a y'' + b y' + c y = 0 \]

Метод характеристического уравнения

Пишем:

\[ a r^2 + b r + c = 0 \]

Решаем относительно $r_1, r_2$.

Случаи:

Разные корни:

y = C_1 e^{r_1x} + C_2 e^{r_2x}

Равные корни:

y = (C_1 + C_2x)e^{rx}

Комплексные корни:

y = e^{\alpha x}(C_1\cos{\beta x} + C_2\sin{\beta x})

Физический пример: гармонические колебания.

y'' + \omega^2 y = 0

Решение:

y = A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t)

Это уравнение движения пружины или маятника.

6.3. Линейное неоднородное уравнение

Вид:

\[ a y'' + b y' + c y = f(x) \]

Общее решение:

y = y_{\text{общ}} + y_{\text{частн}}

где $y_{\text{общ}}$ — решение однородного уравнения,
а $y_{\text{частн}}$ — любое частное решение исходного.

Методы нахождения частного решения:

Метод неопределённых коэффициентов (если $f(x)$ — полином, $e^{kx}$, $\sin$, $\cos$).
Метод вариации постоянных — общий, подходит для любых $f(x)$.

Пример:

y'' + y = \sin x

$y_{\text{общ}} = C_1\cos x + C_2\sin x$

Для частного ищем $y_p = A\sin x + B\cos x$
Подставляем, решаем, получаем:

y = C_1\cos x + C_2\sin x - \frac{1}{2}x\cos x

Смысл: вынужденные колебания под действием внешней силы.

7. Системы дифференциальных уравнений

Иногда одна функция зависит от другой:

\begin{cases} x' = f(x, y) \\ y' = g(x, y) \end{cases}

Пример: модель хищник-жертва (Лотка–Вольтерра):

\begin{cases} x' = ax - bxy \\ y' = -cy + dxy \end{cases}

где $x$ — популяция жертв, $y$ — хищников.

Смысл: описывает циклические колебания численности в экосистемах.

8. Уравнения в частных производных (ЧДУ)

Если функция зависит от нескольких переменных:

\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial t}, \dots

Примеры основных ЧДУ:

Уравнение теплопроводности:

u_t = a^2 u_{xx}

Волновое уравнение:

u_{tt} = a^2 u_{xx}

Уравнение Лапласа:

u_{xx} + u_{yy} = 0

Эти уравнения описывают распространение тепла, волн, потенциалов.

9. Качественные методы

Не всегда решение можно найти аналитически,
но можно понять его поведение — устойчивость, рост, затухание.

Пример:

\[ y' = y(1 - y) \]

Точки $y=0$ и $y=1$ — стационарные.
Решение стремится к $y=1$, то есть система устойчива.

10. Итоговая таблица методов

Тип уравнения	Вид	Метод	Пример
$y’ = f(x)$	Простое	Интегрирование	$y’ = 2x$
$y’ = f(x)g(y)$	Отделение переменных	Разделить и интегрировать	$y’ = xy$
$y’ + p(x)y = q(x)$	Линейное	Интегрирующий множитель	$y’ - 2y = 4$
$y’ = f(y/x)$	Однородное	Подстановка $y=vx$	$y’ = (x+y)/x$
$y’ + p(x)y = q(x)y^n$	Бернулли	Замена $z=y^{1-n}$	$y’ + y = y^2$
$a y’’ + b y’ + c y = 0$	Второго порядка	Характеристическое	$y’‘+y=0$
$a y’’ + b y’ + c y = f(x)$	Неоднородное	Неопределённые коэффициенты	$y’‘+y=\sin x$

11. Как понимать интуитивно

Производная — это скорость изменения.
Диффур — это уравнение, где связаны скорости и значения.
Решение — это функция, которая ведёт себя так, как требует уравнение.
Константы интегрирования — это разные “сценарии” системы (начальные условия).
Диффуры — универсальный язык, описывающий всё, что меняется во времени или пространстве.

12. Свод обозначений

Обозначение	Значение
$y’, y’’, y^{(n)}$	производные функции $y(x)$
$\frac{dy}{dx}, \frac{d^2y}{dx^2}$	первая и вторая производные
$\partial u / \partial x$	частная производная
$C, C_1, C_2$	постоянные интегрирования
$\mu(x)$	интегрирующий множитель
$r$	корень характеристического уравнения

Заключение

Дифференциальные уравнения — это не просто инструмент, а универсальный язык изменений.
Они описывают всё: от колебаний маятника до роста населения, от тока в цепи до течения времени.
Поняв структуру и смысл каждого типа уравнения, можно не запоминать формулы,
а понимать, как система себя ведёт.