Дифференциальные уравнения

1. Что такое дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение (ДУ) — это уравнение, которое связывает неизвестную функцию и её производные.

Если обычное уравнение описывает зависимость между величинами,
то диффур описывает закон изменения величины.

Пример:

означает, что скорость изменения функции \(y(x)\) равна \(2x\).

Интегрируя, получаем:

Таким образом, диффур описывает процесс, а его решение — саму форму поведения.

2. Где применяются

Область	Пример уравнения	Смысл
Механика	\(m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx\)	колебания, движение
Физика	\(\frac{dT}{dt} = -k(T - T_0)\)	охлаждение тела
Биология	\(\frac{dN}{dt} = rN(1 - \frac{N}{K})\)	рост популяции
Химия	\(\frac{dC}{dt} = -kC\)	распад вещества
Экономика	\(\frac{dM}{dt} = pM\)	рост капитала

---

3. Классификация

Критерий	Варианты	Пример
По числу переменных	Обыкновенные (ОДУ), Частные (ЧДУ)	\(y'=x+y\); \(u_{xx}+u_{yy}=0\)
По порядку	Первый, Второй и выше	\(y'=x\); \(y''+y=0\)
По линейности	Линейные, Нелинейные	\(y'+y=0\); \(y'=y^2\)
По правой части	Однородные, Неоднородные	\(y'+y=0\); \(y'+y=1\)

4. Основная цель решения

Найти общее решение — формулу для функции \(y(x)\),
которая удовлетворяет дифференциальному уравнению.

Если заданы начальные условия, например \(y(0)=2\),
то находим частное решение, подходящее именно к этому случаю.

5. Уравнение первого порядка

5.1. Самый простой случай

Решение:

Пример:

Прикладной смысл: если \(f(x)\) — скорость, то \(y\) — путь.

5.2. Уравнения с разделяющимися переменными

Вид:

Переносим всё с \(y\) влево, с \(x\) вправо:

Интегрируем обе стороны:

Пример:

Прикладное значение: рост, пропорциональный текущему значению (например, рост бактерий).

5.3. Линейное уравнение первого порядка

Общий вид:

Метод интегрирующего множителя

1. Найти множитель:

1. Умножить уравнение на \(\mu(x)\):

1. Интегрировать:

Пример:

Физический пример: охлаждение тела по закону Ньютона:

где \(T_0\) — температура среды. Решение:

5.4. Однородное уравнение

Вид:

Подстановка:

После подстановки получаем уравнение относительно \(v\) и \(x\), решаем как уравнение с разделяющимися переменными.

Пример:

Подставляем \(y = vx\):

5.5. Уравнение Бернулли

Вид:

Замена:

После замены получаем линейное уравнение относительно \(z\), решаем методом множителя.

Пример:

Тут \(n=2\), замена \(z = y^{-1}\):

Решаем:

Прикладное значение: процессы роста или затухания с сопротивлением среды.

6. Уравнения второго порядка

6.1. Уравнение без \(y'\)

Если \(y'' = f(x)\), то дважды интегрируем:

Пример:

Прикладной смысл: ускорение → скорость → положение.

6.2. Линейное однородное с постоянными коэффициентами

Вид:

Метод характеристического уравнения

1. Пишем:

1. Решаем относительно \(r_1, r_2\).

Случаи:

• Разные корни:

  \[ y = C_1 e^{r_1x} + C_2 e^{r_2x} \]

• Равные корни:

  \[ y = (C_1 + C_2x)e^{rx} \]

• Комплексные корни:

  \[ y = e^{\alpha x}(C_1\cos{\beta x} + C_2\sin{\beta x}) \]

Физический пример: гармонические колебания.

Решение:

Это уравнение движения пружины или маятника.

6.3. Линейное неоднородное уравнение

Вид:

Общее решение:

где \(y_{\text{общ}}\) — решение однородного уравнения,
а \(y_{\text{частн}}\) — любое частное решение исходного.

Методы нахождения частного решения:

1. Метод неопределённых коэффициентов (если \(f(x)\) — полином, \(e^{kx}\), \(\sin\), \(\cos\)).
2. Метод вариации постоянных — общий, подходит для любых \(f(x)\).

Пример:

\(y_{\text{общ}} = C_1\cos x + C_2\sin x\)

Для частного ищем \(y_p = A\sin x + B\cos x\)
Подставляем, решаем, получаем:

Смысл: вынужденные колебания под действием внешней силы.

7. Системы дифференциальных уравнений

Иногда одна функция зависит от другой:

Пример: модель хищник-жертва (Лотка–Вольтерра):

где \(x\) — популяция жертв, \(y\) — хищников.

Смысл: описывает циклические колебания численности в экосистемах.

8. Уравнения в частных производных (ЧДУ)

Если функция зависит от нескольких переменных:

Примеры основных ЧДУ:

1. Уравнение теплопроводности:

   \[ u_t = a^2 u_{xx} \]

2. Волновое уравнение:

   \[ u_{tt} = a^2 u_{xx} \]

3. Уравнение Лапласа:

   \[ u_{xx} + u_{yy} = 0 \]

Эти уравнения описывают распространение тепла, волн, потенциалов.

9. Качественные методы

Не всегда решение можно найти аналитически,
но можно понять его поведение — устойчивость, рост, затухание.

Пример:

Точки \(y=0\) и \(y=1\) — стационарные.
Решение стремится к \(y=1\), то есть система устойчива.

10. Итоговая таблица методов

Тип уравнения	Вид	Метод	Пример
\(y' = f(x)\)	Простое	Интегрирование	\(y' = 2x\)
\(y' = f(x)g(y)\)	Отделение переменных	Разделить и интегрировать	\(y' = xy\)
\(y' + p(x)y = q(x)\)	Линейное	Интегрирующий множитель	\(y' - 2y = 4\)
\(y' = f(y/x)\)	Однородное	Подстановка \(y=vx\)	\(y' = (x+y)/x\)
\(y' + p(x)y = q(x)y^n\)	Бернулли	Замена \(z=y^{1-n}\)	\(y' + y = y^2\)
\(a y'' + b y' + c y = 0\)	Второго порядка	Характеристическое	\(y''+y=0\)
\(a y'' + b y' + c y = f(x)\)	Неоднородное	Неопределённые коэффициенты	\(y''+y=\sin x\)

11. Как понимать интуитивно

• Производная — это скорость изменения.
• Диффур — это уравнение, где связаны скорости и значения.
• Решение — это функция, которая ведёт себя так, как требует уравнение.
• Константы интегрирования — это разные “сценарии” системы (начальные условия).
• Диффуры — универсальный язык, описывающий всё, что меняется во времени или пространстве.

12. Свод обозначений

Обозначение	Значение
\(y', y'', y^{(n)}\)	производные функции \(y(x)\)
\(\frac{dy}{dx}, \frac{d^2y}{dx^2}\)	первая и вторая производные
\(\partial u / \partial x\)	частная производная
\(C, C_1, C_2\)	постоянные интегрирования
\(\mu(x)\)	интегрирующий множитель
\(r\)	корень характеристического уравнения

Заключение

Дифференциальные уравнения — это не просто инструмент, а универсальный язык изменений.
Они описывают всё: от колебаний маятника до роста населения, от тока в цепи до течения времени.
Поняв структуру и смысл каждого типа уравнения, можно не запоминать формулы,
а понимать, как система себя ведёт.