С модулем
Модуль
| Модуль, или абсолютная велечина числа $a$, есть неотрицательное число, обозначаемое $ | a | $ и определеяемое следующим образом: |
\[
|a| =
\begin{cases}
a, & \text{если } a \geq 0, \\[6pt]
-a, & \text{если } a < 0.
\end{cases}
\]
Свойства модуля
\[
|a|^2=a^2
\]
\[
|-a|=|a|
\]
\[
|\frac{a}{b}|=\frac{|a|}{|b|}
\]
\[
|ab|=|a||b|
\]
\[
|ab|=a|b|,\quad a>0
\]
\[
|a+b|\leq|a|+|b|
\]
Простейшее равенство
\[
|f(x)| = a \quad \Rightarrow \quad
\left[
\begin{aligned}
f(x) &= a, \\[6pt]
f(x) &= -a,
\end{aligned}
\right.
\qquad a \geq 0
\]
Сравнение двух модулей
\[
|f(x)=|g(x)|\quad \Rightarrow
\quad
\left[
\begin{aligned}
f(x) &= g(x), \\[6pt]
f(x) &= -g(x)
\end{aligned}
\right.
\]
Простейшее неравенство
Неравенство со знаком $\leq$ — это система:
\[
|f(x)| \leq a \quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
f(x) \leq a, \\[6pt]
f(x) \geq -a,
\end{cases}
\qquad a \geq 0
\]
Неравенство со знаком $\geq$ — это совокупность:
\[
|f(x)| \geq a\quad \Rightarrow
\quad
\left[
\begin{aligned}
f(x) &\geq a, \\[6pt]
f(x) &\leq -a,
\end{aligned}
\right.
\qquad a \geq 0
\]