Метод Монте-Карло
Метод Монте-Карло
Метод Монте-Карло — это численный эксперимент для оценки вероятностей и интегралов с помощью случайных чисел.
Идея: когда нельзя посчитать вероятность аналитически, имитируем случайные испытания и смотрим на частоту успеха.
Суть метода
- Генерируем случайные исходы $x_1, x_2, \dots, x_n$ в рамках возможных исходов $\Omega$.
- Определяем условие события $A$ для каждого исхода.
- Считаем, сколько раз событие произошло:
\[
m = \sum_{i=1}^{n} I_A(x_i)
\]
где $I_A(x_i)$ — индикатор события:
\[
I_A(x_i) =
\begin{cases}
1, & x_i \in A \\
0, & x_i \notin A
\end{cases}
\]
- Приближаем вероятность события $A$:
\[
P(A) \approx \frac{m}{n}
\]
Пример 1: Бросок игральной кости
- Хотим вероятность, что выпадет 5 или 6.
- Генерируем $n=10000$ случайных бросков $x_i \in {1,2,3,4,5,6}$.
- Считаем количество успехов $m$.
- Получаем:
\[
P(\text{5 или 6}) \approx \frac{m}{10000} \approx \frac{2}{6} = 0.333
\]
Пример 2: Геометрический случай (площадь круга)
- Бросаем точку $(x,y)$ равномерно в квадрат $[0,1]^2$.
- Событие $A$: точка попала в круг радиусом $r=0.5$ с центром в $(0.5,0.5)$.
- Индикатор: $I_A(x_i,y_i)=1$, если $(x_i-0.5)^2+(y_i-0.5)^2 \le r^2$.
- Генерируем $n$ точек, считаем $m$, получаем:
\[
P(A) \approx \frac{m}{n} \approx \frac{\pi r^2}{1^2} = \frac{\pi}{4} \approx 0.785
\]
Плюсы метода
- Можно применять, когда аналитически посчитать нельзя.
- Работает для дискретных и непрерывных исходов.
- Простой в реализации на компьютере.
Минусы метода
- Результат — приближение, точность зависит от $n$.
- Для высокой точности требуется очень большое $n$.
- Не даёт аналитической формулы, только численную оценку.
Итого
Метод Монте-Карло — это статистическая имитация случайных событий:
\[
P(A) \approx \frac{\text{число успехов}}{\text{общее число испытаний}} = \frac{m}{n}
\]
- Чем больше $n$, тем точнее оценка.
- Связывает теорию вероятностей с компьютерным моделированием.