Метод Монте-Карло
Метод Монте-Карло
Метод Монте-Карло — это численный эксперимент для оценки вероятностей и интегралов с помощью случайных чисел.
Идея: когда нельзя посчитать вероятность аналитически, имитируем случайные испытания и смотрим на частоту успеха.
Суть метода
- Генерируем случайные исходы \(x_1, x_2, \dots, x_n\) в рамках возможных исходов \(\Omega\).
- Определяем условие события \(A\) для каждого исхода.
- Считаем, сколько раз событие произошло:
\[
m = \sum_{i=1}^{n} I_A(x_i)
\]
где \(I_A(x_i)\) — индикатор события:
\[
I_A(x_i) =
\begin{cases}
1, & x_i \in A \\
0, & x_i \notin A
\end{cases}
\]
- Приближаем вероятность события \(A\):
\[
P(A) \approx \frac{m}{n}
\]
Пример 1: Бросок игральной кости
- Хотим вероятность, что выпадет 5 или 6.
- Генерируем \(n=10000\) случайных бросков \(x_i \in \{1,2,3,4,5,6\}\).
- Считаем количество успехов \(m\).
- Получаем:
\[
P(\text{5 или 6}) \approx \frac{m}{10000} \approx \frac{2}{6} = 0.333
\]
Пример 2: Геометрический случай (площадь круга)
- Бросаем точку \((x,y)\) равномерно в квадрат \([0,1]^2\).
- Событие \(A\): точка попала в круг радиусом \(r=0.5\) с центром в \((0.5,0.5)\).
- Индикатор: \(I_A(x_i,y_i)=1\), если \((x_i-0.5)^2+(y_i-0.5)^2 \le r^2\).
- Генерируем \(n\) точек, считаем \(m\), получаем:
\[
P(A) \approx \frac{m}{n} \approx \frac{\pi r^2}{1^2} = \frac{\pi}{4} \approx 0.785
\]
Плюсы метода
- Можно применять, когда аналитически посчитать нельзя.
- Работает для дискретных и непрерывных исходов.
- Простой в реализации на компьютере.
Минусы метода
- Результат — приближение, точность зависит от \(n\).
- Для высокой точности требуется очень большое \(n\).
- Не даёт аналитической формулы, только численную оценку.
Итого
Метод Монте-Карло — это статистическая имитация случайных событий:
\[
P(A) \approx \frac{\text{число успехов}}{\text{общее число испытаний}} = \frac{m}{n}
\]
- Чем больше \(n\), тем точнее оценка.
- Связывает теорию вероятностей с компьютерным моделированием.