Шпаргалки / Физика / Электродинамика

04. Проводники, диэлектрики и конденсаторы

Проводники, диэлектрики и конденсаторы

Уровень: база → первый курс

Проводник

В проводнике есть свободные носители заряда, способные перемещаться на макроскопические расстояния.

В электростатическом равновесии:

  1. поле внутри объёма проводника равно нулю;
  2. проводник эквипотенциален;
  3. избыточный заряд находится на поверхности;
  4. поле у поверхности направлено по нормали;
  5. у острых участков поверхностная плотность и поле больше.

Электростатическое экранирование

Полость внутри замкнутого проводника защищена от внешнего статического электрического поля при соответствующих условиях. Это принцип клетки Фарадея.

Если внутри полости есть заряд, на внутренней поверхности индуцируется компенсирующий заряд, а распределение на внешней поверхности зависит от полного заряда проводника и внешней среды.

Диэлектрик

В диэлектрике нет свободного переноса заряда как в металле, но заряды могут немного смещаться или ориентироваться.

Возникает поляризация:

\[ \vec P=\frac{d\vec p}{dV}. \]

Для линейного изотропного диэлектрика:

\[ \vec P=\varepsilon_0\chi_e\vec E. \]
\[ \varepsilon_r=1+\chi_e. \]

Связанный заряд:

\[ \rho_b=-\nabla\cdot\vec P. \]

Электрическое смещение

\[ \vec D=\varepsilon_0\vec E+\vec P. \]

Закон Гаусса для свободных зарядов:

\[ \oint\vec D\cdot d\vec S=Q_{\text{св}}. \]

Конденсатор

Система двух проводников, разделённых диэлектриком и несущих противоположные заряды.

Ёмкость:

\[ C=\frac Q{U}. \]

Она зависит от геометрии и среды, но не от \(Q\) и \(U\) для линейного режима.

Плоский конденсатор

Без краевых эффектов:

\[ C=\varepsilon\frac Sd. \]

Поле:

\[ E=\frac Ud=\frac{\sigma}{\varepsilon}. \]

Сферический и цилиндрический

Изолированная сфера радиуса \(R\):

\[ C=4\pi\varepsilon_0R. \]

Коаксиальный цилиндр длины \(L\):

\[ C=\frac{2\pi\varepsilon L}{\ln(b/a)}. \]

Соединение конденсаторов

Параллельно

\[ C_\Sigma=\sum_iC_i. \]

Напряжение одинаково, заряды складываются.

Последовательно

\[ \frac1{C_\Sigma}=\sum_i\frac1{C_i}. \]

Заряд одинаков по модулю, напряжения складываются.

Энергия

\[ W=\frac{CU^2}{2}=\frac{Q^2}{2C}=\frac{QU}{2}. \]

Плотность в линейном диэлектрике:

\[ u=\frac12\vec E\cdot\vec D. \]

Вставка диэлектрика: два разных случая

Конденсатор отключён

\[ Q=\text{const}. \]

При полном заполнении \(C\) растёт в \(\varepsilon_r\) раз, \(U\) и \(E\) уменьшаются, энергия уменьшается.

Конденсатор подключён к источнику

\[ U=\text{const}. \]

\(C\) и \(Q\) растут, энергия конденсатора увеличивается; источник совершает работу.

Пример

\(S=0{,}02\) м², \(d=1\) мм:

\[ C=\varepsilon_0\frac Sd \approx177\ \text{пФ}. \]

При \(U=100\) В:

\[ Q=CU\approx17{,}7\ \text{нКл}. \]
\[ W=\frac{CU^2}{2}\approx0{,}885\ \text{мкДж}. \]

Ошибки

  • Считать ёмкость зависящей от заряда.
  • Не различать подключённый и отключённый конденсатор.
  • Считать поле внутри диэлектрика всегда нулевым.
  • Путать свободные и связанные заряды.

Самопроверка

  1. Где находится избыточный заряд проводника в равновесии?
  2. Как меняется ёмкость при увеличении площади пластин?
  3. Что сохраняется при вставке диэлектрика в отключённый конденсатор?
Ответы 1. На поверхности. 2. Растёт прямо пропорционально площади. 3. Заряд.