Шпаргалки / Математика / Школа / Алгебра / Уравнения и неравенства

Умножение и деление на переменную

Ключевое правило

  • Уравнения — можно, но с осторожностью (риск потери корней).
  • Неравенства — нельзя напрямую, нужно разбирать случаи по знаку переменной.

1. Уравнения

Правильный подход

  1. Перенести всё в одну сторону.
  2. Разложить на множители.
  3. Приравнять каждый множитель к нулю.
  4. Если делим на выражение с переменной — указать, что оно ≠ 0.

Опасный подход

Делить или умножать на переменную без проверки → риск потерять корень.

Примеры

Пример 1: Потеря корня

\[ x(x - 1) = 2x \]

❌ Неправильно:

\[ \frac{x(x-1)}{x} = \frac{2x}{x} \Rightarrow x-1=2 \Rightarrow x=3 \]

Корень \(x=0\) потерян.

✅ Правильно:

\[ x(x-1)-2x=0 \Rightarrow x(x-3)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=3 \]

Пример 2: Возведение в квадрат

\[ \sqrt{x+3}=x-1 \]

❌ Неправильно: возводим обе части в квадрат без проверки:

\[ x+3=(x-1)^2 \Rightarrow x^2-3x-2=0 \Rightarrow x=2, x=-1 \]

Лишний корень: \(x=-1\) (не подходит под исходное уравнение).

✅ Правильно: проверяем корни после возведения:

\[ x=2 \text{ верно}, \quad x=-1 \text{ отбрасываем} \]

2. Неравенства

Проблема

Умножение или деление на переменную может изменить знак неравенства, поэтому нельзя делать напрямую.

Надёжные методы

  1. Разбор случаев по знаку (совокупность систем)
  2. Метод интервалов для выражений вида \(\frac{f(x)}{g(x)} > 0\) или <0

Примеры

Пример 1: Простое неравенство

\[ x^2 > x \]

❌ Неправильно:

\[ \frac{x^2}{x} > \frac{x}{x} \Rightarrow x>1 \]

Проверка: \(x=-2 \Rightarrow 4>-2\) верно, но \(-2\) не входит в \(x>1\).

✅ Правильно (метод интервалов):

\[ x(x-1)>0, \quad \text{нули } 0,1 \]

Интервалы: \((-\infty;0),(0;1),(1;\infty)\)
Знаки: \((+),(-),(+)\)
Ответ:

\[ x \in (-\infty;0) \cup (1;\infty) \]

Пример 2: Дробное неравенство

\[ \frac{1}{x} < 1 \]

❌ Неправильно:

\[ \frac{1}{x} < 1 \Rightarrow x>1 \]

Проверка: \(x=-1 \Rightarrow -1<1\) верно, но \(-1\) не входит в решение.

✅ Правильно (метод интервалов):

\[ \frac{1-x}{x}<0, \quad \text{нули } 0,1 \]

Интервалы: \((-\infty;0),(0;1),(1;\infty)\)
Знаки: \((-),(+),(-)\)
Ответ:

\[ x \in (-\infty;0) \cup (1;\infty) \]

Пример 3: Разбор случаев по знаку

\[ x(x-2)<0 \]

❌ Неправильно: делим на \(x\) → теряем знак для \(x<0\).

✅ Правильно: анализ по интервалам:

  • \(x<0\) → \(>0\)
  • \(0<x<2\) → \(<0\)
  • \(x>2\) → \(>0\)

Ответ:

\[ x \in (0;2) \]

Пример 4: Совокупность систем

\[ \frac{x-2}{x+1}>0 \]

❌ Неправильно: делим на \(x+1\) без проверки → потеря части решения.

✅ Правильно: составляем совокупность двух систем:

\[ \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x - 2 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow x > 2 \\[1mm] \begin{cases} x - 2 < 0 \\ x + 1 < 0 \end{cases} \Rightarrow x < -1 \end{array} \right. \]

Ответ:

\[ x \in (-\infty;-1) \cup (2;\infty) \]

Пример 5: Метод интервалов с дробью

\[ \frac{(x-3)(x+2)}{x-1} \le 0 \]

Нули: \(-2,1,3\)
Интервалы: \((-\infty;-2),(-2;1),(1;3),(3;\infty)\)
Знаки: \((-),(+),(-),(+)\)
Ответ:

\[ x \in (-\infty;-2] \cup (1;3] \]

Итоговая таблица

Действие Уравнения Неравенства
Умножение/деление на переменную ⚠️ Можно с проверкой ⚠️ Можно только через разбор
Риск Потеря корней Неверный знак или область
Безопасный метод Разложение на множители Метод интервалов / разбор знаков

Золотое правило

  • Делить можно только, если точно знаешь, что делитель не равен нулю и его знак определён.
  • Умножая на выражение с переменной — проверь знак, иначе легко перепутаешь направление неравенства.
  • При решении неравенств надёжнее всего использовать метод интервалов или разбор по случаям (совокупность систем) — тогда не ошибёшься ни со знаком, ни с областью определения.