Шпаргалки / Математика / Школа / Алгебра / Уравнения и неравенства

Умножение и деление на переменную

  • Уравнения — можно, но с осторожностью (риск потери корней).
  • Неравенства — нельзя напрямую, нужно разбирать случаи по знаку переменной.

1. Уравнения

Правильный подход

  1. Перенести всё в одну сторону.
  2. Разложить на множители.
  3. Приравнять каждый множитель к нулю.
  4. Если делим на выражение с переменной — указать, что оно ≠ 0.

Опасный подход

Делить или умножать на переменную без проверки → риск потерять корень.

Примеры

Пример 1: Потеря корня

\[ x(x - 1) = 2x \]

❌ Неправильно:

\[ \frac{x(x-1)}{x} = \frac{2x}{x} \Rightarrow x-1=2 \Rightarrow x=3 \]

Корень $x=0$ потерян.

✅ Правильно:

\[ x(x-1)-2x=0 \Rightarrow x(x-3)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=3 \]

Пример 2: Возведение в квадрат

\[ \sqrt{x+3}=x-1 \]

❌ Неправильно: возводим обе части в квадрат без проверки:

\[ x+3=(x-1)^2 \Rightarrow x^2-3x-2=0 \Rightarrow x=2, x=-1 \]

Лишний корень: $x=-1$ (не подходит под исходное уравнение).

✅ Правильно: проверяем корни после возведения:

\[ x=2 \text{ верно}, \quad x=-1 \text{ отбрасываем} \]

2. Неравенства

Проблема

Умножение или деление на переменную может изменить знак неравенства, поэтому нельзя делать напрямую.

Надёжные методы

  1. Разбор случаев по знаку (совокупность систем)
  2. Метод интервалов для выражений вида $\frac{f(x)}{g(x)} > 0$ или <0

Примеры

Пример 1: Простое неравенство

\[ x^2 > x \]

❌ Неправильно:

\[ \frac{x^2}{x} > \frac{x}{x} \Rightarrow x>1 \]

Проверка: $x=-2 \Rightarrow 4>-2$ верно, но $-2$ не входит в $x>1$.

✅ Правильно (метод интервалов):

\[ x(x-1)>0, \quad \text{нули } 0,1 \]

Интервалы: $(-\infty;0),(0;1),(1;\infty)$
Знаки: $(+),(-),(+)$
Ответ:

\[ x \in (-\infty;0) \cup (1;\infty) \]

Пример 2: Дробное неравенство

\[ \frac{1}{x} < 1 \]

❌ Неправильно:

\[ \frac{1}{x} < 1 \Rightarrow x>1 \]

Проверка: $x=-1 \Rightarrow -1<1$ верно, но $-1$ не входит в решение.

✅ Правильно (метод интервалов):

\[ \frac{1-x}{x}<0, \quad \text{нули } 0,1 \]

Интервалы: $(-\infty;0),(0;1),(1;\infty)$
Знаки: $(-),(+),(-)$
Ответ:

\[ x \in (-\infty;0) \cup (1;\infty) \]

Пример 3: Разбор случаев по знаку

\[ x(x-2)<0 \]

❌ Неправильно: делим на $x$ → теряем знак для $x<0$.

✅ Правильно: анализ по интервалам:

  • $x<0$ → $>0$
  • $0<x<2$ → $<0$
  • $x>2$ → $>0$

Ответ:

\[ x \in (0;2) \]

Пример 4: Совокупность систем

\[ \frac{x-2}{x+1}>0 \]

❌ Неправильно: делим на $x+1$ без проверки → потеря части решения.

✅ Правильно: составляем совокупность двух систем:

\[ \left[ \begin{array}{l} \begin{cases} x - 2 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow x > 2 \\[1mm] \begin{cases} x - 2 < 0 \\ x + 1 < 0 \end{cases} \Rightarrow x < -1 \end{array} \right. \]

Ответ:

\[ x \in (-\infty;-1) \cup (2;\infty) \]

Пример 5: Метод интервалов с дробью

\[ \frac{(x-3)(x+2)}{x-1} \le 0 \]

Нули: $-2,1,3$
Интервалы: $(-\infty;-2),(-2;1),(1;3),(3;\infty)$
Знаки: $(-),(+),(-),(+)$
Ответ:

\[ x \in (-\infty;-2] \cup (1;3] \]

Итоговая таблица

| Действие | Уравнения | Неравенства |
| ——————————- | ———————– | ——————————– |
| Умножение/деление на переменную | ⚠️ Можно с проверкой | ⚠️ Можно только через разбор |
| Риск | Потеря корней | Неверный знак или область |
| Безопасный метод | Разложение на множители | Метод интервалов / разбор знаков |

Золотое правило

  • Делить можно только, если точно знаешь, что делитель не равен нулю и его знак определён.
  • Умножая на выражение с переменной — проверь знак, иначе легко перепутаешь направление неравенства.
  • При решении неравенств надёжнее всего использовать метод интервалов или разбор по случаям (совокупность систем) — тогда не ошибёшься ни со знаком, ни с областью определения.