Шпаргалки / Физика / Электродинамика

Постоянный ток и электрические цепи

Уровень: База

Этот раздел закрывает крупную дыру между электростатикой и уравнениями Максвелла: ток, сопротивление, соединения, мощность и правила Кирхгофа.

Что надо понять

  • Ток — направленное движение заряда.
  • Напряжение показывает работу поля на единицу заряда.
  • Сопротивление зависит от материала и геометрии.
  • В сложной цепи сохраняются заряд и энергия.

Основные формулы

1. Сила тока

\[ I=\frac{\Delta q}{\Delta t} \]

Направление тока условно совпадает с движением положительных зарядов.

2. Закон Ома участка

\[ U=IR,\qquad R=\rho\frac{l}{S} \]

Для омического проводника при постоянной температуре.

3. Последовательное соединение

\[ R_{\Sigma}=R_1+R_2+\ldots,\qquad I=\mathrm{const} \]

Напряжения складываются.

4. Параллельное соединение

\[ \frac1{R_{\Sigma}}=\sum_i\frac1{R_i},\qquad U=\mathrm{const} \]

Токи по ветвям складываются.

5. Мощность и тепло

\[ P=UI=I^2R=\frac{U^2}{R},\qquad Q=I^2Rt \]

Выбирать форму надо по известным величинам.

6. Правила Кирхгофа

\[ \sum I_{\text{в узле}}=0,\qquad \sum \mathcal E-\sum IR=0 \]

Первое выражает сохранение заряда, второе — энергии.

7. Полная цепь

\[ I=\frac{\mathcal E}{R+r},\qquad U=\mathcal E-Ir \]

\(r\) — внутреннее сопротивление источника.

Разобранные задачи

Задача 1. Последовательная цепь

Условие. Резисторы \(4\) Ом и \(6\) Ом подключены к \(20\) В.

Решение.

\[ R_\Sigma=4+6=10\,\Omega. \]
\[ I=\frac{20}{10}=2\,\text{А}. \]
\[ U_1=IR_1=8\,\text{В},\qquad U_2=12\,\text{В}. \]

Ответ: \(I=2\) А, \(U_1=8\) В, \(U_2=12\) В.

Задача 2. Параллельная цепь

Условие. Резисторы \(6\) Ом и \(3\) Ом подключены параллельно к \(12\) В.

Решение.

\[ \frac1{R_\Sigma}=\frac16+\frac13=\frac12, \]
\[ R_\Sigma=2\,\Omega. \]
\[ I=\frac{12}{2}=6\,\text{А}. \]

Ответ: \(R_\Sigma=2\) Ом, \(I=6\) А.

Задача 3. Источник с внутренним сопротивлением

Условие. \(\mathcal E=12\) В, \(r=1\) Ом, нагрузка \(R=5\) Ом.

Решение.

\[ I=\frac{12}{5+1}=2\,\text{А}. \]

Напряжение на нагрузке:

\[ U=IR=10\,\text{В}. \]

Потеря внутри источника \(Ir=2\) В.

Ответ: \(I=2\) А, \(U=10\) В.

Задача 4. Мощность

Условие. Нагреватель \(2\) кВт работает \(15\) минут.

Решение.

\[ A=Pt=2000\cdot(15\cdot60) =1{,}8\cdot10^6\,\text{Дж}. \]

Это также \(0{,}5\) кВт·ч.

Ответ: \(1{,}8\) МДж или \(0{,}5\) кВт·ч.

Алгоритм решения

  1. Перерисовать цепь без декоративных изгибов.
  2. Определить узлы и тип соединений.
  3. Упростить очевидные участки.
  4. Для сложной цепи задать направления токов и применить Кирхгофа.
  5. Проверить баланс мощностей.

Частые ошибки

  • Считать резисторы последовательными только потому, что они нарисованы рядом.
  • Складывать сопротивления параллельных ветвей напрямую.
  • Путать ЭДС и напряжение на клеммах.
  • Использовать \(P=U^2/R\) при неизвестном реальном напряжении на элементе.

Задачи для самопроверки

  1. Два резистора \(2\) Ом и \(8\) Ом последовательно. Общее сопротивление?
Ответ\(10\) Ом.
  1. Те же резисторы параллельно. Общее сопротивление?
Ответ\(1{,}6\) Ом.
  1. Лампа \(12\) В потребляет \(3\) А. Мощность?
Ответ\(36\) Вт.

Связи с другими темами

Краткий итог

Этот раздел закрывает крупную дыру между электростатикой и уравнениями Максвелла: ток, сопротивление, соединения, мощность и правила Кирхгофа.