Меры положения выборки

Меры положения — это статистические показатели, которые показывают центральное или типичное значение выборки, а также делят данные на части, чтобы понять распределение.

1. Среднее выборочное (Mean)

Определение: среднее арифметическое всех наблюдений.

Формула:

• \(x_i\) — значения выборки
• \(n\) — количество наблюдений

Применение:
Показывает «среднее» значение данных. Используется, когда данные не имеют сильных выбросов.

Пример:

Выборка: \([2, 4, 6]\)

2. Мода (Mode)

Определение: значение, которое встречается чаще всего.

Формула: нет стандартной формулы, определяется по частоте встречаемости.

Применение:
Показывает самое распространённое значение. Полезно для категориальных данных или для понимания «типичного» значения в выборке.

Пример:

Выборка: \([2, 2, 3, 4, 4, 4, 5]\)
Мода: \(4\)

3. Медиана (Median)

Определение: срединное значение упорядоченной выборки.

Формула:

• Если \(n\) нечётное: медиана — центральное значение
• Если \(n\) чётное: медиана — среднее двух средних значений

Применение:
Хорошо отражает «типичное» значение, когда есть выбросы или данные неравномерно распределены.

Пример:

Выборка: \([1, 2, 3, 10, 20]\)

Медиана = \(3\) (третье значение в упорядоченном ряду)

4. Квантили (Quantiles)

Определение: значения, которые делят упорядоченную выборку на равные части.

Основные квантили:

• \(Q_1\) — первый квартиль (25% значений меньше)
• \(Q_2\) — второй квартиль (медиана, 50% значений меньше)
• \(Q_3\) — третий квартиль (75% значений меньше)

Формула:

\(Q_k = x_{(k(n+1)/4)}\) — значение, соответствующее позиции в упорядоченной выборке

• При необходимости берём интерполяцию, если позиция дробная.

Применение:
Показывают распределение данных, помогают оценивать разброс и границы данных. Полезны для ящика с усами (boxplot).

Пример:

Выборка: \([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8]\)

• \(Q_1 = 2.5\) (между 2 и 3)
• \(Q_2 = 4.5\) (между 4 и 5)
• \(Q_3 = 6.5\) (между 6 и 7)

5. Перцентили (Percentiles)

Определение: значения, которые делят данные на 100 равных частей.

• \(P_k\) — значение, ниже которого находится \(k\%\) данных.

Формула: аналогично квантили, но с делением на 100 вместо 4.

Применение:
Позволяет оценивать распределение конкретного значения относительно всей выборки. Используется, например, для школьных тестов, где говорят «ты в 90-м перцентиле».

6. Минимум и максимум

• Минимум: наименьшее значение в выборке
• Максимум: наибольшее значение в выборке

Применение:
Показывают диапазон данных. Используются для выявления выбросов.

Пример:
Выборка: \([3, 5, 2, 8, 6]\)
Минимум = \(2\), Максимум = \(8\)

7. Размах (Range)

Определение: разница между максимальным и минимальным значением

Применение:
Оценка общей разбросанности данных. Легко вычислять, но чувствителен к выбросам.

Пример:
Выборка: \([3, 5, 2, 8, 6]\)
Размах \(R = 8 - 2 = 6\)

Итоговая таблица мер положения

Мера	Формула/определение	Для чего применяется	Пример
Среднее	\(\bar{x} = \frac{1}{n}\sum x_i\)	Среднее значение, когда нет выбросов	4
Мода	чаще всего встречающееся значение	Типичное значение, категориальные данные	4
Медиана	среднее значение в упорядоченном ряду	Типичное значение при выбросах	3
Квартиль	\(Q_1, Q_2, Q_3\)	Делят выборку на части, визуализация	\(Q_1=2.5\)
Перцентиль	\(P_k\)	Распределение конкретного значения	90-й перцентиль
Минимум	\(x_{\min}\)	Нижняя граница	2
Максимум	\(x_{\max}\)	Верхняя граница	8
Размах	\(R = x_{\max} - x_{\min}\)	Общий разброс	6