Шпаргалки / Физика / Механика

13. Потенциальная энергия и закон сохранения энергии

Потенциальная энергия и закон сохранения энергии

Уровень: база → первый курс

Консервативная сила

Сила называется консервативной, если её работа между двумя точками не зависит от пути.

Эквивалентно: работа по замкнутому контуру равна нулю:

\[ \oint\vec F\cdot d\vec r=0. \]

Примеры:

  • гравитационная сила;
  • электростатическая сила;
  • сила идеальной пружины.

Трение скольжения обычно неконсервативно.

Потенциальная энергия

Для консервативной силы вводят \(U\):

\[ A_{1\to2}=-\Delta U=U_1-U_2. \]

В одном измерении:

\[ F_x=-\frac{dU}{dx}. \]

Сила направлена в сторону уменьшения потенциальной энергии.

Нулевой уровень

К потенциальной энергии можно добавить постоянную, не меняя силы:

\[ U'(x)=U(x)+C. \]

Физически значимы разности энергий.

Тяжесть в однородном поле

\[ U=mgh. \]

Это приближение для высот, малых по сравнению с радиусом Земли.

Гравитация на больших расстояниях

Если ноль на бесконечности:

\[ U(r)=-G\frac{Mm}{r}. \]

Пружина

\[ U_{\text{пруж}}=\frac{kx^2}{2}. \]

Минимум в положении равновесия \(x=0\).

Механическая энергия

\[ E=E_k+U. \]

Если действуют только консервативные силы:

\[ E_k+U=\text{const}. \]

Если есть неконсервативная работа:

\[ \Delta(E_k+U)=A_{\text{неконс}}. \]

Закон сохранения полной энергии

Полная энергия замкнутой системы не создаётся и не исчезает, а переходит между формами.

При трении механическая энергия уменьшается, но внутренняя энергия возрастает. Закон энергии не нарушается.

Пример 1. Падение

Тело падает с высоты \(h\) из покоя:

\[ mgh=\frac{mv^2}{2}. \]
\[ v=\sqrt{2gh}. \]

Масса сокращается.

Пример 2. Пружинный выстрел

Пружина \(k=200\) Н/м сжата на \(0{,}1\) м и разгоняет тело \(m=0{,}5\) кг на гладкой поверхности:

\[ \frac{kx^2}{2}=\frac{mv^2}{2}. \]
\[ v=x\sqrt{\frac{k}{m}} =0{,}1\sqrt{400}=2\ \text{м/с}. \]

Пример 3. Трение

Брусок с \(v_0=6\) м/с скользит по горизонтали, \(\mu=0{,}3\), \(g=10\).

Работа трения:

\[ -\mu mgs=0-\frac{mv_0^2}{2}. \]
\[ s=\frac{v_0^2}{2\mu g}=6\ \text{м}. \]

Потенциальная диаграмма

Движение возможно там, где

\[ E_k=E-U(x)\ge0. \]

То есть

\[ E\ge U(x). \]

Точки, где \(E=U\), являются точками поворота.

Равновесие:

\[ \frac{dU}{dx}=0. \]

Устойчивое равновесие соответствует минимуму \(U\):

\[ \frac{d^2U}{dx^2}>0. \]

Вузовское продолжение

В лагранжевой механике:

\[ L=T-U. \]

Если лагранжиан не зависит явно от времени, соответствующая энергия сохраняется. Это связано с теоремой Нётер и симметрией относительно сдвига времени.

Ошибки

  • Считать механическую энергию сохраняющейся при любом трении.
  • Путать работу силы и потенциальную энергию.
  • Использовать \(mgh\) на расстояниях, сравнимых с радиусом Земли.
  • Считать абсолютное значение потенциальной энергии всегда измеримым.

Самопроверка

  1. Почему потенциальная энергия определяется с точностью до константы?
  2. Что происходит с механической энергией при трении?
  3. Как по графику \(U(x)\) определить устойчивое равновесие?
Ответы 1. Сила зависит от производной, а производная константы нулевая. 2. Переходит во внутреннюю и другие формы. 3. Это минимум потенциальной энергии.