Теорема Пифагора, окружность и тригонометрия
Для прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$:
\[
a^2 + b^2 = c^2
\]
- Квадрат гипотенузы = сумма квадратов катетов.
- Частный случай на единичной окружности (радиус $r = 1$):
\[
x^2 + y^2 = 1
\]
где $x$ и $y$ — координаты точки на окружности.
2. Окружность
Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом $r$:
\[
x^2 + y^2 = r^2
\]
- Точку на окружности через угол $\theta$ можно записать как:
\[
x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta
\]
- Подставляем в уравнение окружности:
\[
(r \cos \theta)^2 + (r \sin \theta)^2 = r^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = r^2
\]
3. Основное тригонометрическое тождество
\[
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
\]
- Это Пифагор на единичной окружности: катеты треугольника = $\cos \theta$ и $\sin \theta$, гипотенуза = 1.
4. Связь всего
- Пифагор: $a^2 + b^2 = c^2$ — базовая геометрия.
- Вписываем треугольник в окружность: гипотенуза = радиус $r$, катеты = координаты $(x, y)$ → $x^2 + y^2 = r^2$.
- Единичная окружность ($r=1$) → $cos^2 θ + sin^2 θ = 1$.
- Основное тригонометрическое тождество — прямое следствие Пифагора на единичной окружности.
Итого: Пифагор — база, окружность — визуализация, тригонометрия — алгебраическая форма.