Теорема Пифагора, окружность и тригонометрия
1. Теорема Пифагора
Для прямоугольного треугольника с катетами \(a\) и \(b\) и гипотенузой \(c\):
\[
a^2 + b^2 = c^2
\]
- Квадрат гипотенузы = сумма квадратов катетов.
- Частный случай на единичной окружности (радиус \(r = 1\)):
\[
x^2 + y^2 = 1
\]
где \(x\) и \(y\) — координаты точки на окружности.
2. Окружность
Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом \(r\):
\[
x^2 + y^2 = r^2
\]
- Точку на окружности через угол \(\theta\) можно записать как:
\[
x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta
\]
- Подставляем в уравнение окружности:
\[
(r \cos \theta)^2 + (r \sin \theta)^2 = r^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = r^2
\]
3. Основное тригонометрическое тождество
\[
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
\]
- Это Пифагор на единичной окружности: катеты треугольника = \(\cos \theta\) и \(\sin \theta\), гипотенуза = 1.
4. Связь всего
- Пифагор: \(a^2 + b^2 = c^2\) — базовая геометрия.
- Вписываем треугольник в окружность: гипотенуза = радиус \(r\), катеты = координаты \((x, y)\) → \(x^2 + y^2 = r^2\).
- Единичная окружность (\(r=1\)) → \(cos^2 θ + sin^2 θ = 1\).
- Основное тригонометрическое тождество — прямое следствие Пифагора на единичной окружности.
Итого: Пифагор — база, окружность — визуализация, тригонометрия — алгебраическая форма.